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1
p. 87-92
LETTRE à M..... Professeur & Censeur royal, par M. G. Ecuyer, Officier de la chambre de Madame la Dauphine, sur un problême d'algebre appliqué à la science de la guerre.
Début :
Monsieur, j'avois décidé avec moi-même de faire un divorce irréconciliable [...]
Mots clefs :
Algèbre, Géométrie, Science de la guerre, Madame la Dauphine, Problème d'algèbre, Guerre
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texteReconnaissance textuelle : LETTRE à M..... Professeur & Censeur royal, par M. G. Ecuyer, Officier de la chambre de Madame la Dauphine, sur un problême d'algebre appliqué à la science de la guerre.
LETTRE à M ..... Profeſſeur & Cenfeur
royal , par M. G. Ecuyer , Officier
de la chambre de Madame la Dauphine
, fur un problême d'algebre appliqué
à la fcience de la guerre .
Onfieur , j'avois décidé avec moi-
Mmême de faire un divorce irréconciliable
avec l'Algebre & la Géométrie :
la néceffité de faire valoir mon bien de
campagne , celle de fuivre plufieurs procès
de fucceffion , mon peu de fanté , &
par conféquent le peu d'efpérance d'y acquerir
une forte de célébrité , m'avoient
fait prendre un parti fi contraire à mon
goût . J'eus l'honneur cet automne &
en même tems le vrai bonheur d'être admis
à faire ma cour à des perfonnes de
qualité de mon voifinage ; j'y retrouvai
des compas , des équerres , des niveaux ,
des graphometres , des cartes topographi
,
38 MERCURE DE FRANCE .
ques , des plans de bataille , de fiége , de
marches militaires , des projets de campa
gne , &c. en un mot tout ce qui caractériſe
un ſyſtème de travail ferieux , fuivi ,
& propre à des perfonnes deftinées par leur
naiffance & leurs talens héréditaires &
perfonnels , aux premiers emplois de la
guerre en falloit- il davantage pour me
rappeller à mes premieres foibleffes : On
me propofa de réfoudre le problême d'algebre
dont je vous fais aujoud'hui la dédicace
; nouvelles chaînes , nouveau motif
d'ardeur & d'émulation , & voilà l'époque
glorieufe pour moi de mon retour à
la géométrie. Je vis dans cette refpectable
maifon , avec un plaifir bien fenfible
& bien délicat , des enfans à peine de fept
ou huit ans , tracer des lignes & des angles
, reconnoître leurs rapports & leurs
combinaiſons , manier des inftrumens de
Mathématique je fus enchanté de n'entendre
fortir de leur bouche que les termes
de fervice du Roi , de la haine de
fes ennemis , de l'honneur , de la bravoure
, & de la néceffité d'acquerir les talens
du coeur & de l'efprit , indifpenfables pour
commander les autres ; on me pardonnera
cette forte d'indifcrétion , j'y vis avec la
plus vive furpriſe , & comme une efpéce
de paradoxe , les dames , fans perdre la
MA 1. 1755. 89 ·
plus légere de leurs graces , ni de ce tour
délicat & ingénieux de la converſation
que donne l'ufage du grand monde ; les
dames , dis- je , paffer avec fuccès , de la
poëfie , de la mufique , de l'hiftoire , ou
des ouvrages de goût & de légereté , à calculer
, à réfoudre des problèmes de Géométrie
& d'Algebre.
Enfin j'y vis les terres & les arbres
cultivés fuivant les principes de M M.
Sthul , Duhamel , de Buffon ; les abeilles
& les vers à foie élevés fuivant les regles
de M. de Réaumur ; la pratique de l'éducation
fauvage des beftiaux , en un mot
plufieurs de ces arts champêtres innocens ,
utiles à la fociété , à la fanté , à la confervation
de fon bien , & dont les héros rendus
à la paix ne rougiffoient point autrefois.
Tout refpiroit dans cette belle & délicieuſe
campagne l'efprit de calcul & de
fyftême , & ces principes folides de la
raifon fupérieure de l'illuftre M. de P. auffi
grand à la guerre que férieux & appliqué
chez lui , d'où il avoit banni cette frivo-.
lité qui ne gagne que trop aujourd'hui .
Les bornes d'une lettre femblent contraindre
de fi juftes motifs d'éloges ; mais la
vertu & le vrai mérite font fi peu communs
qu'on n'en reconnoît les traces qu'avec
un fecret & délicieux enchantement ;
90 MERCURE DE FRANCE.
ces motifs ne font pas néanmoins étrangers
à l'objet de ma lettre , puifqu'il vous
entretiennent d'application de calcul aux
affaires de la vie ; méthode que vous eftimez
. avec raiſon , bien fupérieure à celle
qui ne traite que des x & des y , & dont
vous ne ceſſez de recommander l'uſage à
vos difciples après qu'ils fe font mis en
poffeffion de cette derniere .
?
&
Parlons maintenant de mon problême ,
qui eft , je penſe , un des plus forts qu'on
puiffe propofer en Algebre indéterminée du
premier dégré ; j'ai pris à tâche de réunir
toutes les méthodes de Diophante , de Bachet
, du P. Prefter , & d'autres. Il contient ,
proprement parler , huit problêmes différens
; ce n'eft que la quatrieme condition
qui lie les trois précédentes , comme vous
le verrez dans la premierepréparation
qui les rappelle à une expreffion où les inconnues
font égalées à des quantités connues
mêlées avec deux indéterminées . Les
fept & huitiémes conditions font deux.
problêmes nouveaux , qu'on peut encore
réfoudre féparément des premiers ; mais
comme ils font une efpéce d'hiftoire fuivie
, il faut trouver l'art de les lier avec
la deuxième préparation il y a encore
un choix délicat à faire dans les rapports
des pertes ou des foldats défaits de chaM
A I.
1755 . 91
que
détachement , car fi on ne les tire
point de la nature intrinfeque du problême
, on ne fera rien qui vaille , on aura
bien des folutions vraies , mais qui feront
à d'autres queftions. Il eft inexprimable
combien j'ai gâté de papier , & combien
il m'en a coûté de peines pour fixer ces
rapports , fans compter les fautes d'étourderie
& les erreurs des fignes . Je joins à ma
lettre le mis au net de mes calculs , qui contiennent
cinq ou fix feuillets , fans aucun
détail de divifion ou de multiplication.
C'eſt un hommage que je vous adreffe ,
un tribut , le paiement d'une dette , car
affurément je vous dois beaucoup ; c'eft
en un fens votre bien , votre ouvrage ,
puifqu'il eft bâti des matériaux recueillis
fous vous au Collège royal ; c'eft le fruit
du long loifir que me laiffe mon fervice ,
& duquel je ne crois pas devoir faire un
meilleur ufage , les devoirs de la fociété
remplis , pour mériter l'honneur de votre
eftime , & le nom de &c.
Les nombres les plus fimples qui fatisfont
à toutes les conditions du problê
me , font : 551 , 431 , 311 .
All x 8400 μss!?
J : 64052 + 431
4410
➡0.1.2.3.4.5. &cj
311
92 MERCURE DE FRANCE.
1 ° . Effectivement le tiers de 551 eſt
1832, le quart de 551 eft 135 +3 .
e
2°. Le 5º de 431 eft 86 + 1 , & le 7º
de 431 eft 614.
3 °. Le 7° de 311 eft 44 + 3 , & le 9º
de 311 eft 34 + 4.
4°. 551 + 311 = 2 × 431 = 862.
50. 551 +9 , 43x + +2 , 431 +4 :: 140. 61 .
7
60 551 +9 311 ·
'SI.
140.102
:: 50 :
C. Q.F. F. & D.
A Versailles , ce 10 Avril 1755 .
royal , par M. G. Ecuyer , Officier
de la chambre de Madame la Dauphine
, fur un problême d'algebre appliqué
à la fcience de la guerre .
Onfieur , j'avois décidé avec moi-
Mmême de faire un divorce irréconciliable
avec l'Algebre & la Géométrie :
la néceffité de faire valoir mon bien de
campagne , celle de fuivre plufieurs procès
de fucceffion , mon peu de fanté , &
par conféquent le peu d'efpérance d'y acquerir
une forte de célébrité , m'avoient
fait prendre un parti fi contraire à mon
goût . J'eus l'honneur cet automne &
en même tems le vrai bonheur d'être admis
à faire ma cour à des perfonnes de
qualité de mon voifinage ; j'y retrouvai
des compas , des équerres , des niveaux ,
des graphometres , des cartes topographi
,
38 MERCURE DE FRANCE .
ques , des plans de bataille , de fiége , de
marches militaires , des projets de campa
gne , &c. en un mot tout ce qui caractériſe
un ſyſtème de travail ferieux , fuivi ,
& propre à des perfonnes deftinées par leur
naiffance & leurs talens héréditaires &
perfonnels , aux premiers emplois de la
guerre en falloit- il davantage pour me
rappeller à mes premieres foibleffes : On
me propofa de réfoudre le problême d'algebre
dont je vous fais aujoud'hui la dédicace
; nouvelles chaînes , nouveau motif
d'ardeur & d'émulation , & voilà l'époque
glorieufe pour moi de mon retour à
la géométrie. Je vis dans cette refpectable
maifon , avec un plaifir bien fenfible
& bien délicat , des enfans à peine de fept
ou huit ans , tracer des lignes & des angles
, reconnoître leurs rapports & leurs
combinaiſons , manier des inftrumens de
Mathématique je fus enchanté de n'entendre
fortir de leur bouche que les termes
de fervice du Roi , de la haine de
fes ennemis , de l'honneur , de la bravoure
, & de la néceffité d'acquerir les talens
du coeur & de l'efprit , indifpenfables pour
commander les autres ; on me pardonnera
cette forte d'indifcrétion , j'y vis avec la
plus vive furpriſe , & comme une efpéce
de paradoxe , les dames , fans perdre la
MA 1. 1755. 89 ·
plus légere de leurs graces , ni de ce tour
délicat & ingénieux de la converſation
que donne l'ufage du grand monde ; les
dames , dis- je , paffer avec fuccès , de la
poëfie , de la mufique , de l'hiftoire , ou
des ouvrages de goût & de légereté , à calculer
, à réfoudre des problèmes de Géométrie
& d'Algebre.
Enfin j'y vis les terres & les arbres
cultivés fuivant les principes de M M.
Sthul , Duhamel , de Buffon ; les abeilles
& les vers à foie élevés fuivant les regles
de M. de Réaumur ; la pratique de l'éducation
fauvage des beftiaux , en un mot
plufieurs de ces arts champêtres innocens ,
utiles à la fociété , à la fanté , à la confervation
de fon bien , & dont les héros rendus
à la paix ne rougiffoient point autrefois.
Tout refpiroit dans cette belle & délicieuſe
campagne l'efprit de calcul & de
fyftême , & ces principes folides de la
raifon fupérieure de l'illuftre M. de P. auffi
grand à la guerre que férieux & appliqué
chez lui , d'où il avoit banni cette frivo-.
lité qui ne gagne que trop aujourd'hui .
Les bornes d'une lettre femblent contraindre
de fi juftes motifs d'éloges ; mais la
vertu & le vrai mérite font fi peu communs
qu'on n'en reconnoît les traces qu'avec
un fecret & délicieux enchantement ;
90 MERCURE DE FRANCE.
ces motifs ne font pas néanmoins étrangers
à l'objet de ma lettre , puifqu'il vous
entretiennent d'application de calcul aux
affaires de la vie ; méthode que vous eftimez
. avec raiſon , bien fupérieure à celle
qui ne traite que des x & des y , & dont
vous ne ceſſez de recommander l'uſage à
vos difciples après qu'ils fe font mis en
poffeffion de cette derniere .
?
&
Parlons maintenant de mon problême ,
qui eft , je penſe , un des plus forts qu'on
puiffe propofer en Algebre indéterminée du
premier dégré ; j'ai pris à tâche de réunir
toutes les méthodes de Diophante , de Bachet
, du P. Prefter , & d'autres. Il contient ,
proprement parler , huit problêmes différens
; ce n'eft que la quatrieme condition
qui lie les trois précédentes , comme vous
le verrez dans la premierepréparation
qui les rappelle à une expreffion où les inconnues
font égalées à des quantités connues
mêlées avec deux indéterminées . Les
fept & huitiémes conditions font deux.
problêmes nouveaux , qu'on peut encore
réfoudre féparément des premiers ; mais
comme ils font une efpéce d'hiftoire fuivie
, il faut trouver l'art de les lier avec
la deuxième préparation il y a encore
un choix délicat à faire dans les rapports
des pertes ou des foldats défaits de chaM
A I.
1755 . 91
que
détachement , car fi on ne les tire
point de la nature intrinfeque du problême
, on ne fera rien qui vaille , on aura
bien des folutions vraies , mais qui feront
à d'autres queftions. Il eft inexprimable
combien j'ai gâté de papier , & combien
il m'en a coûté de peines pour fixer ces
rapports , fans compter les fautes d'étourderie
& les erreurs des fignes . Je joins à ma
lettre le mis au net de mes calculs , qui contiennent
cinq ou fix feuillets , fans aucun
détail de divifion ou de multiplication.
C'eſt un hommage que je vous adreffe ,
un tribut , le paiement d'une dette , car
affurément je vous dois beaucoup ; c'eft
en un fens votre bien , votre ouvrage ,
puifqu'il eft bâti des matériaux recueillis
fous vous au Collège royal ; c'eft le fruit
du long loifir que me laiffe mon fervice ,
& duquel je ne crois pas devoir faire un
meilleur ufage , les devoirs de la fociété
remplis , pour mériter l'honneur de votre
eftime , & le nom de &c.
Les nombres les plus fimples qui fatisfont
à toutes les conditions du problê
me , font : 551 , 431 , 311 .
All x 8400 μss!?
J : 64052 + 431
4410
➡0.1.2.3.4.5. &cj
311
92 MERCURE DE FRANCE.
1 ° . Effectivement le tiers de 551 eſt
1832, le quart de 551 eft 135 +3 .
e
2°. Le 5º de 431 eft 86 + 1 , & le 7º
de 431 eft 614.
3 °. Le 7° de 311 eft 44 + 3 , & le 9º
de 311 eft 34 + 4.
4°. 551 + 311 = 2 × 431 = 862.
50. 551 +9 , 43x + +2 , 431 +4 :: 140. 61 .
7
60 551 +9 311 ·
'SI.
140.102
:: 50 :
C. Q.F. F. & D.
A Versailles , ce 10 Avril 1755 .
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Résumé : LETTRE à M..... Professeur & Censeur royal, par M. G. Ecuyer, Officier de la chambre de Madame la Dauphine, sur un problême d'algebre appliqué à la science de la guerre.
La lettre est adressée à un professeur et censeur royal par M. G., écuyer et officier de la chambre de Madame la Dauphine. L'auteur avait initialement abandonné l'algèbre et la géométrie en raison de ses obligations personnelles et de son manque de temps. Cependant, lors d'une visite chez des personnes de qualité, il a été inspiré par l'environnement mathématique et militaire qu'il y a trouvé. Il a été invité à résoudre un problème d'algèbre appliqué à la science de la guerre, ce qui l'a ramené à ses premières passions. Dans cette maison, il a observé des enfants et des dames s'adonnant aux mathématiques avec succès, tout en cultivant des terres et élevant des animaux selon des principes scientifiques. L'auteur a été impressionné par l'esprit de calcul et de système qui y régnait, ainsi que par les principes solides de la raison supérieure. L'auteur décrit ensuite le problème d'algèbre qu'il a résolu, un problème complexe d'algèbre indéterminée du premier degré, réunissant diverses méthodes. Il mentionne les difficultés rencontrées et les erreurs commises lors de la résolution. Il joint à sa lettre le résultat de ses calculs, qu'il considère comme un hommage au professeur. Les nombres les plus simples satisfaisant aux conditions du problème sont 551, 431 et 311. L'auteur fournit également des détails sur les calculs effectués pour vérifier ces solutions. La lettre est datée du 10 avril 1755.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
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2
p. 92-94
Problême d'Algebre très-intéressant appliqué à la science de la guerre.
Début :
On envoie trois détachemens pour s'emparer de trois postes différens. [...]
Mots clefs :
Science de la guerre, Algèbre, Problème d'algèbre
Afficher :
texteReconnaissance textuelle : Problême d'Algebre très-intéressant appliqué à la science de la guerre.
Problême d'Algebre très- intéreſſant appliqué
à la fcience de la guerre.
ON envoie trois détachemens pour
s'emparer de trois poftes différens.
1º. L'on fcait que lorfqu'on rangeoit le
premier détachement fur trois foldats de
hauteur , il y en avoit deux de rcſte ; &
lorfqu'on les rangeoit fur quatre de hauteur
, il en reftoit trois .
2°. A l'égard du fecond détachement
M A. I. 1755. 23
lorfqu'on plaçoit les hommes à cinq de
hauteur , il y en avoit un de refte , &
lorfqu'on les rangeoit fur fept , il en reftoit
quatre.
3°. Le troifiéme détachement étoit tel
que les foldats rangés fur trois de hauteur
, il en reftoit trois ; & rangés fur
neuf, il en reſtoit cinq.
4°. Le nombre des troupes du premier
& du troifiéme détachement jointes enfemble
, étoit double de celui du deuxiéme
.
5°. Le Général envoie des ordres à
quatre Officiers de mérite du fecond détachement
, & à cinq du troifiéme , de
joindre le premier détachement.
6°. Après cet ordre exécuté , le premier
poſte coûta à emporter le quart du monde
qui y étoit deſtiné.
7°. Il périt au fecond pofte le feptiéme
des troupes qu'on y avoit envoyées , lequel
montoit à neuf hommes de moins
que la moitié des foldats tués au premier
pofte ; c'est- à-dire que le rapport des trou
pes défaites au premier pofte , étoit à celui
des troupes défaites au fecond , comme
140 eft à 61 .
8. L'on perdit , pour emporter le troifiéme
pofte , le tiers des troupes qui y
étoient commandées , & cette perte étoit
94 MERCURE DE FRANCE.
relativement à celle qu'on fit au premier
pofte , comme 51 eft à 70.1
9°. L'on demande de combien d'hommes
chaque détachement étoit compofé ?
On donnera dans le Mercure du mois.
prochain la méthode de la folution .
à la fcience de la guerre.
ON envoie trois détachemens pour
s'emparer de trois poftes différens.
1º. L'on fcait que lorfqu'on rangeoit le
premier détachement fur trois foldats de
hauteur , il y en avoit deux de rcſte ; &
lorfqu'on les rangeoit fur quatre de hauteur
, il en reftoit trois .
2°. A l'égard du fecond détachement
M A. I. 1755. 23
lorfqu'on plaçoit les hommes à cinq de
hauteur , il y en avoit un de refte , &
lorfqu'on les rangeoit fur fept , il en reftoit
quatre.
3°. Le troifiéme détachement étoit tel
que les foldats rangés fur trois de hauteur
, il en reftoit trois ; & rangés fur
neuf, il en reſtoit cinq.
4°. Le nombre des troupes du premier
& du troifiéme détachement jointes enfemble
, étoit double de celui du deuxiéme
.
5°. Le Général envoie des ordres à
quatre Officiers de mérite du fecond détachement
, & à cinq du troifiéme , de
joindre le premier détachement.
6°. Après cet ordre exécuté , le premier
poſte coûta à emporter le quart du monde
qui y étoit deſtiné.
7°. Il périt au fecond pofte le feptiéme
des troupes qu'on y avoit envoyées , lequel
montoit à neuf hommes de moins
que la moitié des foldats tués au premier
pofte ; c'est- à-dire que le rapport des trou
pes défaites au premier pofte , étoit à celui
des troupes défaites au fecond , comme
140 eft à 61 .
8. L'on perdit , pour emporter le troifiéme
pofte , le tiers des troupes qui y
étoient commandées , & cette perte étoit
94 MERCURE DE FRANCE.
relativement à celle qu'on fit au premier
pofte , comme 51 eft à 70.1
9°. L'on demande de combien d'hommes
chaque détachement étoit compofé ?
On donnera dans le Mercure du mois.
prochain la méthode de la folution .
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Résumé : Problême d'Algebre très-intéressant appliqué à la science de la guerre.
Le texte expose un problème d'algèbre appliqué à la science de la guerre, impliquant trois détachements envoyés pour s'emparer de trois postes différents. Les conditions spécifiques pour chaque détachement sont les suivantes : le premier détachement laisse un reste de deux lorsqu'il est rangé par trois et un reste de trois lorsqu'il est rangé par quatre. Le second détachement laisse un reste de un lorsqu'il est rangé par cinq et un reste de quatre lorsqu'il est rangé par sept. Le troisième détachement laisse un reste de trois lorsqu'il est rangé par trois et un reste de cinq lorsqu'il est rangé par neuf. Le nombre total de troupes du premier et du troisième détachement combinés est double de celui du second détachement. Quatre officiers du second détachement et cinq du troisième rejoignent le premier détachement. Après cette réorganisation, le premier poste coûte un quart des troupes destinées à l'emporter. Au second poste, un septième des troupes envoyées périssent, soit neuf hommes de moins que la moitié des soldats tués au premier poste. Le rapport des troupes défaites au premier poste à celles du second est de 140 à 61. Pour le troisième poste, un tiers des troupes commandées périssent, et cette perte est proportionnelle à celle du premier poste dans un rapport de 51 à 70. Le texte demande de déterminer le nombre d'hommes composant chaque détachement.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
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3
p. 131-133
Solution du problême par M. G... dans le Mercure précédent. Par M. Bezout, Maître de Mathématiques.
Début :
Soient x, y, z, les nombres d'hommes dont les premier, second & troisieme [...]
Mots clefs :
Problème d'algèbre, Problème, Équation
Afficher :
texteReconnaissance textuelle : Solution du problême par M. G... dans le Mercure précédent. Par M. Bezout, Maître de Mathématiques.
Solution du problème propofe par M.G ...
dans le Mercure précédent. Par M. Bezout
, Maître de Mathématiques.
Oient x , y , z , les nombres d'hommes,
dont les premier , fecond & troifieme
détachemens étoient compofés.
Tout le monde connoît la méthode de
trouver un nombre qui , divifé fucceffivement
par deux nombres donnés , laiffe deux
reftes donnés, v
Ainfi on trouvera en fuivant les art.
323, & prenant rs, pour repréfenter
des nombres entiers, pofitifs , on
trouvera dis-je ,.• * — 12 r + 1 }
2= 35·5 + oloros
3
-35 johns no 23631 + $ 9
L'art. 4 donne 12 + 11 631
22 ou 122 1634 acid 9 F79
+48705... ( 1)
F vj
32 MERGURE DE FRANCE .
S. le premier détachement de- Par l'art.
Vient
122 +20
Le fecond détachement
... 35 + 7
Le troifième détachement ... 632 + 540
Donc & par les art . 6 & 7 , on aus
827
20:35:57
:: 140 : 61 ; d'où
+ ·
4 -7
165 = 700s ... (2 ).
Par les articles, 6 & 8 , on a
63 +54
3
>
183r
127 20
:: 70 : SI ; d'où Sir 490, t
+335 ... (3 ).
Si au moyen des équations ( 1 ) .. ( 2 ) ..
( 3 ) , on cherche les valeurs de r , s , t , on
trouvera r = 45 , 5 = 12 t= 4 : fubftituant'ces
valeurs dans les équations , x
= ur +11 , &c. on trouvera
...
x = 551
y = 431 ༡
Z = 311
›
Je ne crois pas qu'il foit néceffaire de
faire remarquer qu'il n'y a pas d'autres
hombres qui puiffent fatisfaire au problême.
On voit allez facilement que la queftion
fe réduit à déterminer r , s , t : or on
a pour cela trois équations différentes ,
donc le problême eft déterminé ; & comme
ces équations font toutes du premier dégré
, il ne peut avoir qu'unefolution.
1 paroît donc que les autres folutions
FOKMHUIN # 11985
propofées par l'Auteur du problème ne
peuvent avoir lieu , & doivent néceffairement
manquer à quelques- unes des conditions.
Au refte je ne finirai point fans
remarquer que l'article 7 auroit pû être
énoncé d'une façon plus exacte. Il eft vrai
que le c'est- à - dire qui lie les deux propofirenferme
cet article , fe trouve
juſte dans ce cas- ci , mais c'eft par hazard ,
& c'eft la découverte des nombres 551 ,
431 & 311 , qui a pû feule faire connoître
que ces propofitions étoient les mêmes.
tions que
>
Or dès que l'énoncé ne donne pas moyen
de connoître leur identité , on eft fondé à
les regarder comme deux conditions différentes
; mais alors le problême deviendroit
plus que déterminé , ce qui feroit bien
contraire aux idées de l'Auteur , qui a regardé
jufqu'ici le problême comme indéterminé.
Je crois donc qu'il fuffifoit &
étoit même néceffaire de n'énoncer que
l'une des deux.
A Paris , ce 5 Mai 1755.
Nota. En comparant les articles cités avec
ma folution , on doit à la page 93 du Mercure
précédent , lire fept au lieu de trois.
Comme l'Auteur m'a envoyé trop tard la
fuite de ce Probleme , elle ne pourra paroître
que dans le fecond Mercure de ce mois.
dans le Mercure précédent. Par M. Bezout
, Maître de Mathématiques.
Oient x , y , z , les nombres d'hommes,
dont les premier , fecond & troifieme
détachemens étoient compofés.
Tout le monde connoît la méthode de
trouver un nombre qui , divifé fucceffivement
par deux nombres donnés , laiffe deux
reftes donnés, v
Ainfi on trouvera en fuivant les art.
323, & prenant rs, pour repréfenter
des nombres entiers, pofitifs , on
trouvera dis-je ,.• * — 12 r + 1 }
2= 35·5 + oloros
3
-35 johns no 23631 + $ 9
L'art. 4 donne 12 + 11 631
22 ou 122 1634 acid 9 F79
+48705... ( 1)
F vj
32 MERGURE DE FRANCE .
S. le premier détachement de- Par l'art.
Vient
122 +20
Le fecond détachement
... 35 + 7
Le troifième détachement ... 632 + 540
Donc & par les art . 6 & 7 , on aus
827
20:35:57
:: 140 : 61 ; d'où
+ ·
4 -7
165 = 700s ... (2 ).
Par les articles, 6 & 8 , on a
63 +54
3
>
183r
127 20
:: 70 : SI ; d'où Sir 490, t
+335 ... (3 ).
Si au moyen des équations ( 1 ) .. ( 2 ) ..
( 3 ) , on cherche les valeurs de r , s , t , on
trouvera r = 45 , 5 = 12 t= 4 : fubftituant'ces
valeurs dans les équations , x
= ur +11 , &c. on trouvera
...
x = 551
y = 431 ༡
Z = 311
›
Je ne crois pas qu'il foit néceffaire de
faire remarquer qu'il n'y a pas d'autres
hombres qui puiffent fatisfaire au problême.
On voit allez facilement que la queftion
fe réduit à déterminer r , s , t : or on
a pour cela trois équations différentes ,
donc le problême eft déterminé ; & comme
ces équations font toutes du premier dégré
, il ne peut avoir qu'unefolution.
1 paroît donc que les autres folutions
FOKMHUIN # 11985
propofées par l'Auteur du problème ne
peuvent avoir lieu , & doivent néceffairement
manquer à quelques- unes des conditions.
Au refte je ne finirai point fans
remarquer que l'article 7 auroit pû être
énoncé d'une façon plus exacte. Il eft vrai
que le c'est- à - dire qui lie les deux propofirenferme
cet article , fe trouve
juſte dans ce cas- ci , mais c'eft par hazard ,
& c'eft la découverte des nombres 551 ,
431 & 311 , qui a pû feule faire connoître
que ces propofitions étoient les mêmes.
tions que
>
Or dès que l'énoncé ne donne pas moyen
de connoître leur identité , on eft fondé à
les regarder comme deux conditions différentes
; mais alors le problême deviendroit
plus que déterminé , ce qui feroit bien
contraire aux idées de l'Auteur , qui a regardé
jufqu'ici le problême comme indéterminé.
Je crois donc qu'il fuffifoit &
étoit même néceffaire de n'énoncer que
l'une des deux.
A Paris , ce 5 Mai 1755.
Nota. En comparant les articles cités avec
ma folution , on doit à la page 93 du Mercure
précédent , lire fept au lieu de trois.
Comme l'Auteur m'a envoyé trop tard la
fuite de ce Probleme , elle ne pourra paroître
que dans le fecond Mercure de ce mois.
Fermer
Résumé : Solution du problême par M. G... dans le Mercure précédent. Par M. Bezout, Maître de Mathématiques.
Le texte expose la solution mathématique d'un problème proposé par M. G. dans un précédent numéro du Mercure. L'auteur, M. Bezout, utilise des équations pour déterminer les nombres d'hommes dans trois détachements, représentés par les variables x, y et z. En se basant sur des articles spécifiques et des équations du premier degré, Bezout calcule les valeurs de r, s et t, respectivement 45, 12 et 4. En substituant ces valeurs, il obtient x = 551, y = 431 et z = 311. Bezout affirme qu'il n'existe pas d'autres solutions possibles et que le problème est déterminé. Il critique également l'énoncé de l'article 7, le jugeant imprécis. Le texte se conclut par une note signalant une correction à apporter dans le Mercure précédent.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
Fermer
4
p. 85-87
Lettre à l'Auteur du Mercure, [titre d'après la table]
Début :
J'ai lû, Monsieur, le problême algébrique que vous avez inséré dans votre [...]
Mots clefs :
Problème d'algèbre, Troupes
Afficher :
texteReconnaissance textuelle : Lettre à l'Auteur du Mercure, [titre d'après la table]
'AI lû , Monfieur , le problême algébrique
que vous avez inféré dans votre
Mercure du mois de Mai . On ne peut mieux
'ordonner les combinaifons d'un problême
indéterminé du premier dégré ; mais j'y
aurois fouhaité plus d'exactitude , il renferme
des erreurs capables de déconcerter
ceux qui admettent les conditions comme
certaines .
A la troifieme condition on lit , le troi
fieme détachement étoit tel que les foldats rangés
fur trois de hauteur , il en reftoit trois ;
il faut lire furfept de hauteur. Cette faute
fenfible eft du Copifte ou de l'Imprimeur.
Il y en a une autre qui appartient entierement
à l'auteur ; elle eft au feptieme
article , & confifte dans le mot , c'eft- à - dire
qui joint deux conditions , de façon à faire
croire que de l'une fuit néceffairement l'autre.
Le Septieme des troupes du fecond pofte
86 MERCURE DE FRANCE.
montoit à neuf hommes de moins que la moitié
des foldats tués au premier pofte , c'eſt- àdire
que le rapport des troupes défaites au premier
pofte étoit à celui des troupes défaites au
fecond pofte , comme 140 est à 61 .
La feconde partie de cette propofition
eft toujours vraie dans le problême ; mais
la premiere partie n'eft vraie que dans les
plus petits nombres , & eft impoffible dans
Les autres : il paroît bien
que l'auteur n'a
pas pris la peine de vérifier fon calcul.
S'il avoit fuppofé feulement = 1 ,
il auroit
vû bientôt la faufferé de fa réſolution ,
il auroit vû que les nombres nouveaux ne
répondent pas à la condition dont je parle ,
& qu'il la faut retrancher fi l'on veut que
le problême refte indéterminé.
Comme l'auteur en promet la folution
pour le mois de juin , j'abrégerai la mienne
& ne détaillerai point un calcul qui ennuieroit
ceux pour qui l'algébre eft étran
ger , & qui n'eft pas néceffaire aux autres..
Si pour défigner les trois détachemens ,
on prend les trois expreffions fuivantes ,
1' détachement . 2d détachement . 3 détachement.
12a + 11. 356 + 11. 636 +59
on a déja fatisfait aux trois premieres con
ditions.
L'examen analytique des conditions
qui reftent , fait voir que a 700 n +
•
JUIN. 1755. $1
45. b = 183 n + 12. c = 70 μ + 4 ;
& en mettant ces valeurs au lieu de a, b, c ,
dans les premieres expreffions , on trouvera
avec l'auteur la folution générale
1' détachement. 24 détachement. 3º détachement.
8400551.6405 u + 431 4410 μ + 311.
. Après avoir donné la folution de ce problême
, l'auteur me permettra de lui en
propofer un à mon tour ; il eft indéterminé
comme le fien , & du premier dégré
nous pourrons monter au fecond fi l'auteur
juge à propos de m'honorer de la continuation
de fon commerce mathématique ,
qui ne peut être qu'inftructif pour l'un &
pour l'autre .
PROBLEM E.
Une perfonne rencontre trois pauvres ,
& les faifant ranger en cercle donne à chacun
des pièces de douze fols & des piéces
de vingt- quatre fols.
Après la diftribution , qui eft inégale , il
fe trouve que chaque pauvre a autant de
piéces que l'un de fes voifins a de livres ,
& autant de livres que fon autre voifin a
de piéces .
On demande combien chaque pauvre
reçoit de pieces de douze fols , & combien
de pieces de vingt- quatre fols.
Voici la folution du premier problême par
l'auteur, qui remplit fa promeffe.
que vous avez inféré dans votre
Mercure du mois de Mai . On ne peut mieux
'ordonner les combinaifons d'un problême
indéterminé du premier dégré ; mais j'y
aurois fouhaité plus d'exactitude , il renferme
des erreurs capables de déconcerter
ceux qui admettent les conditions comme
certaines .
A la troifieme condition on lit , le troi
fieme détachement étoit tel que les foldats rangés
fur trois de hauteur , il en reftoit trois ;
il faut lire furfept de hauteur. Cette faute
fenfible eft du Copifte ou de l'Imprimeur.
Il y en a une autre qui appartient entierement
à l'auteur ; elle eft au feptieme
article , & confifte dans le mot , c'eft- à - dire
qui joint deux conditions , de façon à faire
croire que de l'une fuit néceffairement l'autre.
Le Septieme des troupes du fecond pofte
86 MERCURE DE FRANCE.
montoit à neuf hommes de moins que la moitié
des foldats tués au premier pofte , c'eſt- àdire
que le rapport des troupes défaites au premier
pofte étoit à celui des troupes défaites au
fecond pofte , comme 140 est à 61 .
La feconde partie de cette propofition
eft toujours vraie dans le problême ; mais
la premiere partie n'eft vraie que dans les
plus petits nombres , & eft impoffible dans
Les autres : il paroît bien
que l'auteur n'a
pas pris la peine de vérifier fon calcul.
S'il avoit fuppofé feulement = 1 ,
il auroit
vû bientôt la faufferé de fa réſolution ,
il auroit vû que les nombres nouveaux ne
répondent pas à la condition dont je parle ,
& qu'il la faut retrancher fi l'on veut que
le problême refte indéterminé.
Comme l'auteur en promet la folution
pour le mois de juin , j'abrégerai la mienne
& ne détaillerai point un calcul qui ennuieroit
ceux pour qui l'algébre eft étran
ger , & qui n'eft pas néceffaire aux autres..
Si pour défigner les trois détachemens ,
on prend les trois expreffions fuivantes ,
1' détachement . 2d détachement . 3 détachement.
12a + 11. 356 + 11. 636 +59
on a déja fatisfait aux trois premieres con
ditions.
L'examen analytique des conditions
qui reftent , fait voir que a 700 n +
•
JUIN. 1755. $1
45. b = 183 n + 12. c = 70 μ + 4 ;
& en mettant ces valeurs au lieu de a, b, c ,
dans les premieres expreffions , on trouvera
avec l'auteur la folution générale
1' détachement. 24 détachement. 3º détachement.
8400551.6405 u + 431 4410 μ + 311.
. Après avoir donné la folution de ce problême
, l'auteur me permettra de lui en
propofer un à mon tour ; il eft indéterminé
comme le fien , & du premier dégré
nous pourrons monter au fecond fi l'auteur
juge à propos de m'honorer de la continuation
de fon commerce mathématique ,
qui ne peut être qu'inftructif pour l'un &
pour l'autre .
PROBLEM E.
Une perfonne rencontre trois pauvres ,
& les faifant ranger en cercle donne à chacun
des pièces de douze fols & des piéces
de vingt- quatre fols.
Après la diftribution , qui eft inégale , il
fe trouve que chaque pauvre a autant de
piéces que l'un de fes voifins a de livres ,
& autant de livres que fon autre voifin a
de piéces .
On demande combien chaque pauvre
reçoit de pieces de douze fols , & combien
de pieces de vingt- quatre fols.
Voici la folution du premier problême par
l'auteur, qui remplit fa promeffe.
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Résumé : Lettre à l'Auteur du Mercure, [titre d'après la table]
Le texte critique un problème algébrique publié dans le Mercure de mai. L'auteur reconnaît la bonne structuration des combinaisons du problème indéterminé du premier degré, mais identifie plusieurs erreurs. La première erreur se trouve dans la troisième condition, où il est mentionné 'fur trois de hauteur' au lieu de 'furfept de hauteur'. Une autre erreur apparaît dans le septième article, où le mot 'c'est-à-dire' est mal utilisé, suggérant une relation nécessaire entre deux conditions qui n'existe pas nécessairement. L'auteur critique également la vérification des calculs, soulignant que la première partie d'une proposition est vraie seulement pour les plus petits nombres et impossible pour les autres. Il propose une solution abrégée pour éviter d'ennuyer les lecteurs non familiers avec l'algèbre. Le texte se conclut par la proposition d'un nouveau problème indéterminé du premier degré, similaire à celui critiqué, et invite l'auteur du problème initial à continuer l'échange mathématique. Le nouveau problème consiste à déterminer la distribution de pièces de douze sols et de vingt-quatre sols entre trois pauvres, en respectant certaines conditions de répartition inégale.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
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5
p. 88-95
Méthode de solution du problême d'algébre appliqué à la science de la guerre, annoncé dans le Mercure de Mai 1755, page 87, à M. Censeur & Professeur royal ; par M. G. Ecuyer, Officier de Madame la Dauphine, & de la Société Littéraire de Senlis.
Début :
Il est juste de remplir ses engagemens, l'honneur nous y oblige. Tout l'art de la [...]
Mots clefs :
Problème d'algèbre, Science de la guerre, Professeur royal, Société littéraire de Senlis
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texteReconnaissance textuelle : Méthode de solution du problême d'algébre appliqué à la science de la guerre, annoncé dans le Mercure de Mai 1755, page 87, à M. Censeur & Professeur royal ; par M. G. Ecuyer, Officier de Madame la Dauphine, & de la Société Littéraire de Senlis.
Méthode de folution du problême d'algébre
appliqué à la fcience de la guerre , annons
cé dans le Mercure de Mai 1755 , page
87 , à M. de M. Cenfeur & Profeffeur
royal; par M. G. Ecuyer , Officier de Madame
la Dauphine , & de la Société Liti
téraire de Senlis.
It our oblige. Tout
y
dela
Left jufte de remplir fes engagemens ,
méthode de folution du problême confifte à
fuppofer , felon la magie ordinaire de l'al
gébre , des quotiens fictifs qui fe terminent
finalement à un quotient exact & réel , lequel
devient , malgré fon indétermination,
la commune mefure , le lieu commun , l'expreffion
des relations mutuelles des incon →
véniens qui entrent dans la queftion.
La premiere condition du problême eft
telle : lorfqu'on rangeoit les foldats du premier
détachement fur trois de hauteur , il
y en avoit deux de refte , & lorfqu'on les
rangeoit fur quatre , il en reftoit trois.
Cette condition & les deux fuivantes
prifes dans un point de vue , pour ainfi
dire ifolé , contiennent en elles - mêmes
des problêmes parfaitement diftincts . On
verra qu'ils n'acquerront de liaifon entre
JUIN. 1755 . 89
eux que par la quatrieme condition. Soir
donc nommé x le premier détachement , a
le nombre des compres par 3 , & b celui
des comptes par 4 , l'on aura x =
3 a +
2 = 46 + 3 ; donc 3 a 4 b + 1 ;
bt
b ++ : foit fuppofe
3
=
3
donc b + 1 = 30 , b = 30
--
.1; donc
b + 3 = x = 120—4 + 3 = 120 —
- 1 ; ci pour mémoire , x = 12 c Par
la feconde condition , lorfqu'on rangeoit
les troupes du fecond détachement fur
de hauteur , il en reftoit un ; & lorsqu'on
les rangeoit fur 7 , il en reftoit 4. Soit donc
nommé y ce fecond détachement , d les
comptes par 5 , & e ceux des comptes par
7 ; donc y = 5 d + 1 = 7e + 4 ; 5 d
= 7e + 3 ; d = e + 2 +3 foit
: conçu
e
5
2º+3 =ƒf;; donc 2e +3 = 5 ƒ» 2 0
f-
= sf − 336 = 2f + 3 , concevant
f
21
ƒ——g ; doncƒ— 3 — 28 ; f= 28+3 ;
2f486 ; donce = 48+ 6 + g
= 5 g + 6; donc 7 e +4 ou y = 358 +42
2
+ 4 = 358 + 358 + 46 ; ci pour mémoire , y
=35g8 +46.
Dans la troifieme condition il eft dit ,
que lorfqu'on rangeoit les foldats du troi90
MERCURE DE FRANCE.
fieme détachement fur 7 de hauteur , il y
en avoit 3 de refte ; & lorfqu'on les rangeoit
fur 9 , il en reftoit 5. Soit nommé z
ce troifieme détachement , b les comptes
par 7 , & k ceux par 9 , l'on aura 76
+ 3 = 9k + 5 ; donc b = b = k+
2k+2
ſuppoſant
2 +1 = 1 ; donc 2k + 2 =
7
-
2
71,2 k = 71—2k = 3 1+ ²² fai-
2
2
fant = m ; donc / = 2 m + 2 , & par
conféquent k = 6m +m + 6 = 7m+ 6;
donc 9k + 5 ou 2 = 9 × 7m + 6+ 5=
63m + 59.
2 = 63m + 59
y = 35 g +46
x= 12C -- I
L'on a donc les valeurs des trois inconnues
exprimées par trois indéterminées
différentes , & qui en font trois problêmes
parfaitement diftincts ; effectivement 10.
douze comptes par trois moins l'unité, égalent
onze comptes par trois , & deux de
refte ; douze comptes par quatre moins l'unité
, font égaux à onze comptes par quatre
, plus 3 de refte.
2º. On a 7 g comptes pars plus 9 comptes
par 5 ( 45 ) & l'unité de refte , & is ,
comptes par 7 , plus 6 comptespar 7 , & 4
de refte.
JUIN. 1755.
3°. L'on a 9 m × 7 ou 63 comptes par 7,
plus 8 comptes par 7 ( 56 ) & 3 de refte ;
enfin l'on a 7 m × 9 ou 63 comptes par 9 ,
plus 6 comptes par 9 5 & 5 de refte. C.q.
f. d. 1°.
Telle eft la quatrieme condition ; les
trois détachemens étoient en proportion
arithmétique continue , ou le premier détachement
joint au troifieme étoit double
du fecond , ce qui donne
2 × 358 + 46 = 70 g + 92 = 12 G
→ 1 + 63m + 59 , d'où l'on tire 126
=70g — 63 m + 3 4 ; c = 5. g → sm
+ 2 + 10g 3 m + 10 , fuppofant
-
108 = 3m + 10
12
-
*
12
f
= u ; donc 10 g + 10
3 m = 12 u ; 10 g = 122 — 10+
น
3 mg = u ~ 1 + 3 m + 2 ; 3 m + 2 u
-
" 10
I
IO
p ; donc 2 + 3 m = 10 p ; 2 u = 10p
— 3 m , u = 5 pm - m , foitm =
q;
donc m = 2q ; fubftituant par tout en
retrogradant cette valeur de m , l'on aura
= SP - 39.
8 = 5p - 39-1 + 6 + 101 - 6
-
ΙΟ
u
= 6 p — 3 q — i ; donc 358+ 46 ouy
39
92 MERCURE DE FRANCE.
= 35 × 6p - 3 9-146210p
-105 q-+ u.
120- I ou x 420p
& x =1269+ 59 , & les réuniffant l'on a
—
--
336 - 37,
qui rempliffent
les
4 premiex
= 420p 3369 37
y = 210 p
2 =
105 9 + 11
+1269+ Se
res conditions.
-
Effectivement 1 ° , l'on a 140 px 3+
1129 × 3-12 x 31 Ou11 × 3 + 2
& п05p4 84 9 × 4 — 9 × 4 - 1 Oll
- 8 × 4 + 3 .
{ 2 °. L'on a 42 px S
>
- OÙ
·-21.9x5 + 2
- * 5 + 1 & 3 0 p × 7 1 5 9 × 7 + 7
+4.
3 °. 189 × 7 + 8 × 7 + 3 , & 149
9 +6 × 9 + 5 .
420p
-
4°. Enfin 420 p = 336 937 +126
a + 49
2109 +22 2
x2100-1059 +11 . C. q. f. 2 ° . d.
Par la fixieme condition on perdit le
quart du premier détachement augmenté
de neuf hommes ; par la feptieme on perdit
le feptieme des troupes du fecond détachement
diminué de quatre hommes ;
& par la huitieme on perdit le tiers des
troupes du troifieme détachement diminué
de cinq hommes. La perte du premier pofte
étoit à celle du fecond comme 140 à
JUIN. 1755.
93
61 , & la perte du premier pofte à celle du
troifieme , comme 70 à 51. L'on fera donc
pour remplir les feptieme & huitieme conditions
, cette analogie , qui va réduire les
deux indéterminées p & gà une feule ».
x +23-4420p - 3369-28.
140.61 :: ::
-
4. 7
310 p = 105 9 +7 , d'où l'on tire 61 *
7
420p 33 9 -28
4
140 x 210 p 1059+ 7,
7
-129
I
ou 61 × 7 * 4 * ISP ::
30P - 159 + 1 x 20 x 7 , ou 915p +
7329-61600p — 3009 + 20 , ou
315 p = 4329 +81 ; donc 105 p =
1449+ 27335 p = 4 8 9 + 9 ; p = q
++ 139 +2 , 139+9
fuppofant 13 m ; donc
35 35
339 + 9 = 35 m , 1 3 q = 3 5 m — 9 ,
9 = 2m
9 m -
m
13
J
faifant 99
13
= 13 u , m zu +1 +
4น
9
-
faifant = √ 4 = 9 √ ‚ u :
+ √ , faiſfant√ = ; donc √ 4 ,
& fubftituant par-tout à la place de cette
valeur en rétrogradant , l'on aura √
4u , u = 9u , m = 13 u + 1,9 = 35 n
+ 1 ; p = 48 +3 ; & mettant ces valeurs
de p & de q dans celles de x , y , z ,
l'on aura x 420 × 48. × + 3
× 352 + 2 ~ 378400 + 55 =x
----
336
}
94 MERCURE DE FRANCE.
-
7 = 210 × 45 × + 3 → 105 × 35
1 + 2 + 11 = 6405 + 431 = y
z = 126 × 35 + 1 + 59 = 4410
# + 311 = ~ ,
qui font les trois nombres qu'on a démontrés
dans le Mercure dernier devoir remplir
toutes les conditions du problême.
En fait de fciences exactes & de raiſonnement
, il eſt des fautes heureuſes , & il
eft quelquefois avantageux de tomber dans
des paralogifmes , fur-tout lorfque leur
découverte nous ouvre les fources de l'erreur
, & nous apprend à éviter les routes
fauffes dans lesquelles nous nous étions
engagés ; fouvent l'erreur fert à approfondir
des vérités qu'on n'avoit fait qu'ef
fleurer. Les obfervations qui vont fuivre
ferviront à nous en convaincre.
OBSERVATION S.
1º. Si l'on avoit cherché les valeurs de
x ,y,z en une feule indéterminée par la
huitieme condition , on auroit eu en fuivant
toujours notre méthode ,
x = 58800 S +55 1
y = 45465S + 431
L = 32130 S + 311
qui fatisfait également à tout , mais dont
le premier membre eft feptuple du premiermembre
des nombres ci-devant trouvés ,
JUIN. 17553
95
& qui rendent par conféquent la folution
moins étendue & moins élégante.
2º. On pouvoit réfoudre la huitieme
condition comme un problême particulier,
en faifant +9.25 : 70 , 51 , ce qui
4 3
auroit donné x 280 19 , & z = 153 = tb
+ s , qui ne remplit que cette feule condition
, ce qui fait voir la néceffité d'employer
à la place de x & z qui font les dénominations
qu'on a donné d'abord aux
premier & troifieme détachemens , la néceffité
, dis-je , d'employer leurs valeurs
trouvées en p & q par notre méthode.
3. Si on eût choisi un rapport des
pertes du premier & du fecond détachement
différent de celui de 140 à 61 ; par
exemple , fi on eût fait 2.2
420p - 3369-37 . 2100-105 9 + 11
4
à 4 , on auroit eu
x= 37800+ 6039
y= 88200 + 14116
2 = 13860V + 22193
4 оц
qui ne fatisfont qu'à quelques parties des
conditions du problême , par cette feule
raifon que les valeurs de x , y , z , expriprimées
en p & q , avoient acquis par les
conditions multipliées une relation , pour
ainfi dire , intrinféque , & qu'en leur en
attribuant une nouvelle on dénature les
valeurs de p & de q.
appliqué à la fcience de la guerre , annons
cé dans le Mercure de Mai 1755 , page
87 , à M. de M. Cenfeur & Profeffeur
royal; par M. G. Ecuyer , Officier de Madame
la Dauphine , & de la Société Liti
téraire de Senlis.
It our oblige. Tout
y
dela
Left jufte de remplir fes engagemens ,
méthode de folution du problême confifte à
fuppofer , felon la magie ordinaire de l'al
gébre , des quotiens fictifs qui fe terminent
finalement à un quotient exact & réel , lequel
devient , malgré fon indétermination,
la commune mefure , le lieu commun , l'expreffion
des relations mutuelles des incon →
véniens qui entrent dans la queftion.
La premiere condition du problême eft
telle : lorfqu'on rangeoit les foldats du premier
détachement fur trois de hauteur , il
y en avoit deux de refte , & lorfqu'on les
rangeoit fur quatre , il en reftoit trois.
Cette condition & les deux fuivantes
prifes dans un point de vue , pour ainfi
dire ifolé , contiennent en elles - mêmes
des problêmes parfaitement diftincts . On
verra qu'ils n'acquerront de liaifon entre
JUIN. 1755 . 89
eux que par la quatrieme condition. Soir
donc nommé x le premier détachement , a
le nombre des compres par 3 , & b celui
des comptes par 4 , l'on aura x =
3 a +
2 = 46 + 3 ; donc 3 a 4 b + 1 ;
bt
b ++ : foit fuppofe
3
=
3
donc b + 1 = 30 , b = 30
--
.1; donc
b + 3 = x = 120—4 + 3 = 120 —
- 1 ; ci pour mémoire , x = 12 c Par
la feconde condition , lorfqu'on rangeoit
les troupes du fecond détachement fur
de hauteur , il en reftoit un ; & lorsqu'on
les rangeoit fur 7 , il en reftoit 4. Soit donc
nommé y ce fecond détachement , d les
comptes par 5 , & e ceux des comptes par
7 ; donc y = 5 d + 1 = 7e + 4 ; 5 d
= 7e + 3 ; d = e + 2 +3 foit
: conçu
e
5
2º+3 =ƒf;; donc 2e +3 = 5 ƒ» 2 0
f-
= sf − 336 = 2f + 3 , concevant
f
21
ƒ——g ; doncƒ— 3 — 28 ; f= 28+3 ;
2f486 ; donce = 48+ 6 + g
= 5 g + 6; donc 7 e +4 ou y = 358 +42
2
+ 4 = 358 + 358 + 46 ; ci pour mémoire , y
=35g8 +46.
Dans la troifieme condition il eft dit ,
que lorfqu'on rangeoit les foldats du troi90
MERCURE DE FRANCE.
fieme détachement fur 7 de hauteur , il y
en avoit 3 de refte ; & lorfqu'on les rangeoit
fur 9 , il en reftoit 5. Soit nommé z
ce troifieme détachement , b les comptes
par 7 , & k ceux par 9 , l'on aura 76
+ 3 = 9k + 5 ; donc b = b = k+
2k+2
ſuppoſant
2 +1 = 1 ; donc 2k + 2 =
7
-
2
71,2 k = 71—2k = 3 1+ ²² fai-
2
2
fant = m ; donc / = 2 m + 2 , & par
conféquent k = 6m +m + 6 = 7m+ 6;
donc 9k + 5 ou 2 = 9 × 7m + 6+ 5=
63m + 59.
2 = 63m + 59
y = 35 g +46
x= 12C -- I
L'on a donc les valeurs des trois inconnues
exprimées par trois indéterminées
différentes , & qui en font trois problêmes
parfaitement diftincts ; effectivement 10.
douze comptes par trois moins l'unité, égalent
onze comptes par trois , & deux de
refte ; douze comptes par quatre moins l'unité
, font égaux à onze comptes par quatre
, plus 3 de refte.
2º. On a 7 g comptes pars plus 9 comptes
par 5 ( 45 ) & l'unité de refte , & is ,
comptes par 7 , plus 6 comptespar 7 , & 4
de refte.
JUIN. 1755.
3°. L'on a 9 m × 7 ou 63 comptes par 7,
plus 8 comptes par 7 ( 56 ) & 3 de refte ;
enfin l'on a 7 m × 9 ou 63 comptes par 9 ,
plus 6 comptes par 9 5 & 5 de refte. C.q.
f. d. 1°.
Telle eft la quatrieme condition ; les
trois détachemens étoient en proportion
arithmétique continue , ou le premier détachement
joint au troifieme étoit double
du fecond , ce qui donne
2 × 358 + 46 = 70 g + 92 = 12 G
→ 1 + 63m + 59 , d'où l'on tire 126
=70g — 63 m + 3 4 ; c = 5. g → sm
+ 2 + 10g 3 m + 10 , fuppofant
-
108 = 3m + 10
12
-
*
12
f
= u ; donc 10 g + 10
3 m = 12 u ; 10 g = 122 — 10+
น
3 mg = u ~ 1 + 3 m + 2 ; 3 m + 2 u
-
" 10
I
IO
p ; donc 2 + 3 m = 10 p ; 2 u = 10p
— 3 m , u = 5 pm - m , foitm =
q;
donc m = 2q ; fubftituant par tout en
retrogradant cette valeur de m , l'on aura
= SP - 39.
8 = 5p - 39-1 + 6 + 101 - 6
-
ΙΟ
u
= 6 p — 3 q — i ; donc 358+ 46 ouy
39
92 MERCURE DE FRANCE.
= 35 × 6p - 3 9-146210p
-105 q-+ u.
120- I ou x 420p
& x =1269+ 59 , & les réuniffant l'on a
—
--
336 - 37,
qui rempliffent
les
4 premiex
= 420p 3369 37
y = 210 p
2 =
105 9 + 11
+1269+ Se
res conditions.
-
Effectivement 1 ° , l'on a 140 px 3+
1129 × 3-12 x 31 Ou11 × 3 + 2
& п05p4 84 9 × 4 — 9 × 4 - 1 Oll
- 8 × 4 + 3 .
{ 2 °. L'on a 42 px S
>
- OÙ
·-21.9x5 + 2
- * 5 + 1 & 3 0 p × 7 1 5 9 × 7 + 7
+4.
3 °. 189 × 7 + 8 × 7 + 3 , & 149
9 +6 × 9 + 5 .
420p
-
4°. Enfin 420 p = 336 937 +126
a + 49
2109 +22 2
x2100-1059 +11 . C. q. f. 2 ° . d.
Par la fixieme condition on perdit le
quart du premier détachement augmenté
de neuf hommes ; par la feptieme on perdit
le feptieme des troupes du fecond détachement
diminué de quatre hommes ;
& par la huitieme on perdit le tiers des
troupes du troifieme détachement diminué
de cinq hommes. La perte du premier pofte
étoit à celle du fecond comme 140 à
JUIN. 1755.
93
61 , & la perte du premier pofte à celle du
troifieme , comme 70 à 51. L'on fera donc
pour remplir les feptieme & huitieme conditions
, cette analogie , qui va réduire les
deux indéterminées p & gà une feule ».
x +23-4420p - 3369-28.
140.61 :: ::
-
4. 7
310 p = 105 9 +7 , d'où l'on tire 61 *
7
420p 33 9 -28
4
140 x 210 p 1059+ 7,
7
-129
I
ou 61 × 7 * 4 * ISP ::
30P - 159 + 1 x 20 x 7 , ou 915p +
7329-61600p — 3009 + 20 , ou
315 p = 4329 +81 ; donc 105 p =
1449+ 27335 p = 4 8 9 + 9 ; p = q
++ 139 +2 , 139+9
fuppofant 13 m ; donc
35 35
339 + 9 = 35 m , 1 3 q = 3 5 m — 9 ,
9 = 2m
9 m -
m
13
J
faifant 99
13
= 13 u , m zu +1 +
4น
9
-
faifant = √ 4 = 9 √ ‚ u :
+ √ , faiſfant√ = ; donc √ 4 ,
& fubftituant par-tout à la place de cette
valeur en rétrogradant , l'on aura √
4u , u = 9u , m = 13 u + 1,9 = 35 n
+ 1 ; p = 48 +3 ; & mettant ces valeurs
de p & de q dans celles de x , y , z ,
l'on aura x 420 × 48. × + 3
× 352 + 2 ~ 378400 + 55 =x
----
336
}
94 MERCURE DE FRANCE.
-
7 = 210 × 45 × + 3 → 105 × 35
1 + 2 + 11 = 6405 + 431 = y
z = 126 × 35 + 1 + 59 = 4410
# + 311 = ~ ,
qui font les trois nombres qu'on a démontrés
dans le Mercure dernier devoir remplir
toutes les conditions du problême.
En fait de fciences exactes & de raiſonnement
, il eſt des fautes heureuſes , & il
eft quelquefois avantageux de tomber dans
des paralogifmes , fur-tout lorfque leur
découverte nous ouvre les fources de l'erreur
, & nous apprend à éviter les routes
fauffes dans lesquelles nous nous étions
engagés ; fouvent l'erreur fert à approfondir
des vérités qu'on n'avoit fait qu'ef
fleurer. Les obfervations qui vont fuivre
ferviront à nous en convaincre.
OBSERVATION S.
1º. Si l'on avoit cherché les valeurs de
x ,y,z en une feule indéterminée par la
huitieme condition , on auroit eu en fuivant
toujours notre méthode ,
x = 58800 S +55 1
y = 45465S + 431
L = 32130 S + 311
qui fatisfait également à tout , mais dont
le premier membre eft feptuple du premiermembre
des nombres ci-devant trouvés ,
JUIN. 17553
95
& qui rendent par conféquent la folution
moins étendue & moins élégante.
2º. On pouvoit réfoudre la huitieme
condition comme un problême particulier,
en faifant +9.25 : 70 , 51 , ce qui
4 3
auroit donné x 280 19 , & z = 153 = tb
+ s , qui ne remplit que cette feule condition
, ce qui fait voir la néceffité d'employer
à la place de x & z qui font les dénominations
qu'on a donné d'abord aux
premier & troifieme détachemens , la néceffité
, dis-je , d'employer leurs valeurs
trouvées en p & q par notre méthode.
3. Si on eût choisi un rapport des
pertes du premier & du fecond détachement
différent de celui de 140 à 61 ; par
exemple , fi on eût fait 2.2
420p - 3369-37 . 2100-105 9 + 11
4
à 4 , on auroit eu
x= 37800+ 6039
y= 88200 + 14116
2 = 13860V + 22193
4 оц
qui ne fatisfont qu'à quelques parties des
conditions du problême , par cette feule
raifon que les valeurs de x , y , z , expriprimées
en p & q , avoient acquis par les
conditions multipliées une relation , pour
ainfi dire , intrinféque , & qu'en leur en
attribuant une nouvelle on dénature les
valeurs de p & de q.
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Résumé : Méthode de solution du problême d'algébre appliqué à la science de la guerre, annoncé dans le Mercure de Mai 1755, page 87, à M. Censeur & Professeur royal ; par M. G. Ecuyer, Officier de Madame la Dauphine, & de la Société Littéraire de Senlis.
Le document expose une méthode de résolution d'un problème d'algèbre appliquée à la science de la guerre, présentée dans le Mercure de Mai 1755 par M. G. Ecuyer. Cette méthode utilise des quotients fictifs pour déterminer des quotients exacts et réels, servant de mesure commune pour les relations mutuelles des inconvénients dans la question. Le problème initial consiste à déterminer le nombre de soldats dans trois détachements en fonction de conditions spécifiques de rangement. Pour le premier détachement, lorsqu'on range les soldats par trois, il en reste deux, et par quatre, il en reste trois. Pour le second détachement, lorsqu'on range les soldats par cinq, il en reste un, et par sept, il en reste quatre. Pour le troisième détachement, lorsqu'on range les soldats par sept, il en reste trois, et par neuf, il en reste cinq. Les conditions sont résolues en utilisant des équations algébriques, aboutissant à des valeurs pour les trois détachements exprimées par des indéterminées différentes. La quatrième condition révèle que les détachements sont en proportion arithmétique continue, permettant de lier les trois problèmes distincts. Les pertes subies par chaque détachement sont également prises en compte, avec des rapports spécifiques entre les pertes des différents détachements. Les valeurs finales des détachements sont calculées pour satisfaire toutes les conditions du problème. Le document conclut en soulignant l'importance des erreurs heureuses et des paralogismes dans l'approfondissement des vérités scientifiques. Il présente également des observations sur les différentes méthodes de résolution et les conséquences de choisir des rapports de pertes différents.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
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6
p. 109-112
Réflexions sur la méthode employée par M. G.... Ecuyer, Officier de Madame la Dauphine & de la Société littéraire de Senlis, pour résoudre le problême qu'il a proposé dans le Mercure du mois de Mai dernier. Par M. Bezout, Maître de Mathématiques.
Début :
J'ai avancé & suffisamment démontré dans le Mercure de Juin dernier, que [...]
Mots clefs :
Maître de mathématiques, Société littéraire de Senlis, Algèbre, Mathématiques, Problème d'algèbre
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texteReconnaissance textuelle : Réflexions sur la méthode employée par M. G.... Ecuyer, Officier de Madame la Dauphine & de la Société littéraire de Senlis, pour résoudre le problême qu'il a proposé dans le Mercure du mois de Mai dernier. Par M. Bezout, Maître de Mathématiques.
ALGEBRE.
Réfléxions fur la méthode employée par M.
G.... Ecuyer , Officier de Madame la
Dauphine & de la Société littéraire de
Senlis , pour réfoudre le problême qu'il a
propofe dans le Mercure du mois de Mai
dernier. Par M. Bezout , Maître de
Mathématiques.
'Ai avancé & fuffifamment démontré
J'dans le Mercure de Juin dernier , que
les nombres 551 , 431 , 311 étoient les
feuls qui fatisfaifoient à toutes les conditions
du problême , & les raifonnemens
fur lefquels j'ai appuyé mon affertion ont
pû donner à connoître que la forme indéterminée
que donnoit M. G. à la folution
du problême , ne pouvoit venir que de ce
qu'il auroit fous-entendu ( par quelque
caufe que ce puiffe être ) l'expreffion de
quelques - unes des conditions du problême .
C'est l'opinion dans laquelle j'ai toujours
été & dans laquelle j'ai été confirmé en
110 MERCURE DE FRANCE.
donnant à u quelques valeurs dans les expreffions
de x, y , z qu'a données M. G.
& en dernier lieu par la lecture de fa méthode
.
M. G. après avoir rappellé les 6 , 7 & -
8 conditions de fon énoncé , pourfuit en
difant , l'on fera donc pour remplir les 7 &
buitieme conditions cette analogie , & c . 140 :
61 ::
x + 9
210p -1059 +7
7
-4 y
7
420 p- 3369-
28
4
; au moyen de cette analogie
, il réduit à une feule u les deux indéterminées
p & q , & transforme les valeurs
préparées de x , y , z en celles qu'il
avoit annoncées .
Mais la folution eft - elle achevée ? toutes
les conditions du problême ont-elles été
parcourues & exprimées ? Il me femble
que non ; car je ne vois aucune expreffion
du rapport de la perte faire au premier
pofte à la perte faite au troifieme.
Cependant, dira- t- on , les nombres 5 5 1,
431 , 311 trouvez par cette méthode ,
fatisfont à toutes les conditions du problême
? cela eft vrai ; mais c'eſt par hazard .
Un nombre qui fatisfait à certaines conditions
demandées a encore la propriété de
fatisfaire à beaucoup d'autres qu'on ne lui
demande pas.
D'ailleurs pour fe convaincre
que c'eſt par hazard qu'ils fatisfont à
4
4
JUILLET . 1753 111
cette derniere condition : on n'a qu'à réfoudre
le problême comme s'il étoit énoncé
fans cette même condition , & alors la
queftion qui fera effectivement indéterminée
aura pour les nombres les plus fimples
qui rempliffent les conditions , les
mêmes nombres 551 , 431 , 311 .
que Je ne crois pas non plus qu'on dife
le rapport de la perte faite au premier
pofte à la perte faire au fecond , détermine
ces deux chofes ; 1º. le rapport ddee llaa perte
faite au premier pofte à la perte faite au
troifieme ; 2 °. que la perte faite à ce troifieme
pofte foit le tiers du nombre des
troupes qu'on y avoit envoyées : le problême
dans ce cas feroit à la vérité indéterminé
, & on auroit eu raifon de fousentendre
la derniere condition , parce
qu'elle auroit été renfermée dans la précédente
; mais c'eft ce qu'on ne voit point
& qu'on ne peut voir , car les équations
que fourniffent ces deux conditions , font
très- différentes & ne peuvent être conclues
l'une de l'autre.
Il fuit de là 1 ° . qu'abſtraction faite des
nombres 551 , 431 , 311 , tous les autres
qui font annoncés dans le Mercure de
Mai , doivent manquer à la huitieme condition
, & ils y manquent en effet .
2°. Qu'abſtraction faite des mêmes
112 MERCURE DE FRANCE .
nombres $ 51 , &c. tous les autres qu'on
propofe de nouveau , comme trouvés par
la huitieme condition manquent néceffairement
à la feptieme , & ils y manquent
en effet.
Enfin de ce que des deux différentes
manieres qu'on propofe pour trouver x
y , z, la premiere en omettant ainsi qu'il
paroît ) la huitieme condition ; la feconde
en omettant la feptieme condition , il
en réfulte des valeurs différentes ; on en
doit , ce me femble , conclure que les feptieme
& huitieme conditions font trèsdifférentes
entr'elles ; qu'elles doivent par
conféquent fournir chacune une équation
& déterminer le problême , ainfi que je
l'ai avancé .
Nous donnerons le Mercure prochain
la réponſe de M. G. dans laquelle il a la
noble franchife de convenir qu'il s'ekt
trompé, & que fon problême eft en effet
déterminé comme M. Bezout le prétend.
Réfléxions fur la méthode employée par M.
G.... Ecuyer , Officier de Madame la
Dauphine & de la Société littéraire de
Senlis , pour réfoudre le problême qu'il a
propofe dans le Mercure du mois de Mai
dernier. Par M. Bezout , Maître de
Mathématiques.
'Ai avancé & fuffifamment démontré
J'dans le Mercure de Juin dernier , que
les nombres 551 , 431 , 311 étoient les
feuls qui fatisfaifoient à toutes les conditions
du problême , & les raifonnemens
fur lefquels j'ai appuyé mon affertion ont
pû donner à connoître que la forme indéterminée
que donnoit M. G. à la folution
du problême , ne pouvoit venir que de ce
qu'il auroit fous-entendu ( par quelque
caufe que ce puiffe être ) l'expreffion de
quelques - unes des conditions du problême .
C'est l'opinion dans laquelle j'ai toujours
été & dans laquelle j'ai été confirmé en
110 MERCURE DE FRANCE.
donnant à u quelques valeurs dans les expreffions
de x, y , z qu'a données M. G.
& en dernier lieu par la lecture de fa méthode
.
M. G. après avoir rappellé les 6 , 7 & -
8 conditions de fon énoncé , pourfuit en
difant , l'on fera donc pour remplir les 7 &
buitieme conditions cette analogie , & c . 140 :
61 ::
x + 9
210p -1059 +7
7
-4 y
7
420 p- 3369-
28
4
; au moyen de cette analogie
, il réduit à une feule u les deux indéterminées
p & q , & transforme les valeurs
préparées de x , y , z en celles qu'il
avoit annoncées .
Mais la folution eft - elle achevée ? toutes
les conditions du problême ont-elles été
parcourues & exprimées ? Il me femble
que non ; car je ne vois aucune expreffion
du rapport de la perte faire au premier
pofte à la perte faite au troifieme.
Cependant, dira- t- on , les nombres 5 5 1,
431 , 311 trouvez par cette méthode ,
fatisfont à toutes les conditions du problême
? cela eft vrai ; mais c'eſt par hazard .
Un nombre qui fatisfait à certaines conditions
demandées a encore la propriété de
fatisfaire à beaucoup d'autres qu'on ne lui
demande pas.
D'ailleurs pour fe convaincre
que c'eſt par hazard qu'ils fatisfont à
4
4
JUILLET . 1753 111
cette derniere condition : on n'a qu'à réfoudre
le problême comme s'il étoit énoncé
fans cette même condition , & alors la
queftion qui fera effectivement indéterminée
aura pour les nombres les plus fimples
qui rempliffent les conditions , les
mêmes nombres 551 , 431 , 311 .
que Je ne crois pas non plus qu'on dife
le rapport de la perte faite au premier
pofte à la perte faire au fecond , détermine
ces deux chofes ; 1º. le rapport ddee llaa perte
faite au premier pofte à la perte faite au
troifieme ; 2 °. que la perte faite à ce troifieme
pofte foit le tiers du nombre des
troupes qu'on y avoit envoyées : le problême
dans ce cas feroit à la vérité indéterminé
, & on auroit eu raifon de fousentendre
la derniere condition , parce
qu'elle auroit été renfermée dans la précédente
; mais c'eft ce qu'on ne voit point
& qu'on ne peut voir , car les équations
que fourniffent ces deux conditions , font
très- différentes & ne peuvent être conclues
l'une de l'autre.
Il fuit de là 1 ° . qu'abſtraction faite des
nombres 551 , 431 , 311 , tous les autres
qui font annoncés dans le Mercure de
Mai , doivent manquer à la huitieme condition
, & ils y manquent en effet .
2°. Qu'abſtraction faite des mêmes
112 MERCURE DE FRANCE .
nombres $ 51 , &c. tous les autres qu'on
propofe de nouveau , comme trouvés par
la huitieme condition manquent néceffairement
à la feptieme , & ils y manquent
en effet.
Enfin de ce que des deux différentes
manieres qu'on propofe pour trouver x
y , z, la premiere en omettant ainsi qu'il
paroît ) la huitieme condition ; la feconde
en omettant la feptieme condition , il
en réfulte des valeurs différentes ; on en
doit , ce me femble , conclure que les feptieme
& huitieme conditions font trèsdifférentes
entr'elles ; qu'elles doivent par
conféquent fournir chacune une équation
& déterminer le problême , ainfi que je
l'ai avancé .
Nous donnerons le Mercure prochain
la réponſe de M. G. dans laquelle il a la
noble franchife de convenir qu'il s'ekt
trompé, & que fon problême eft en effet
déterminé comme M. Bezout le prétend.
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Résumé : Réflexions sur la méthode employée par M. G.... Ecuyer, Officier de Madame la Dauphine & de la Société littéraire de Senlis, pour résoudre le problême qu'il a proposé dans le Mercure du mois de Mai dernier. Par M. Bezout, Maître de Mathématiques.
Le texte relate une controverse mathématique entre M. Bezout et M. G. concernant la résolution d'un problème d'algèbre. M. Bezout affirme que les nombres 551, 431 et 311 sont les seuls à satisfaire toutes les conditions du problème posé par M. G. dans le Mercure de mai. Il critique la méthode de M. G., estimant que ce dernier a mal interprété certaines conditions, ce qui a conduit à une forme indéterminée de la solution. M. Bezout souligne que, bien que les nombres trouvés par M. G. satisfassent les conditions, c'est par hasard. Il explique que ces nombres satisfont également d'autres conditions non demandées. Il ajoute que la méthode de M. G. omet certaines conditions essentielles, comme le rapport entre les pertes aux différents postes. M. Bezout conclut que les septième et huitième conditions sont distinctes et doivent chacune fournir une équation pour déterminer le problème. Il annonce que M. G. reconnaîtra son erreur dans le prochain Mercure, admettant que le problème est déterminé comme le prétend M. Bezout.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
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7
p. 131-135
SOLUTION DU SYSTEME PROPOSÉ Par un Anonyme dans le second volume du Mercure de Juin dernier ; par M. Bezout, Maître de Mathématiques.
Début :
M. G... ayant proposé dans le Mercure de Mai un problême d'Algebre, [...]
Mots clefs :
Équation, Problème d'algèbre
Afficher :
texteReconnaissance textuelle : SOLUTION DU SYSTEME PROPOSÉ Par un Anonyme dans le second volume du Mercure de Juin dernier ; par M. Bezout, Maître de Mathématiques.
SOLUTION DU SYSTEME PROPOSÉ
Par un Anonyme dans le fecond volume du
Mercure de Juin dernier ; Par M. Bezout
, Maître de Mathématiques,
M
.G... ayant propofé dans le Marcure
de Mai un problême d'Algebre,
j'ai effayé d'en donner la folution dans le
Mercure de Juin. Dans le 2d volume de ce
même mois'a paru une autre folution par
un Anonyme. Comme elle eft femblable
à celle de M. G ... je ne ferai aucune remarque
fur cette folution ; ce que j'en dirois
, ne feroit qu'une répétition de ce que
j'ai dit dans le premier Mercure de Juin
& dans celui de Juillet . Cette même folution
eft fuivie d'une invitation faite à M.
G... par l'Anonyme , pour la réfolution
du problême fuivant , fur lequel j'efpere
qu'il voudra bien me permettre de m'eſ-
Layer auffi .
Le problème propofé eft celui- ci : Une
F vj
732 MERCURE DE FRANCE.
perfonne rencontre trois pauvres , & les fai-
Sant ranger en cercle , donne à chacun des
pieces de douze fols , & des pieces de vingtquatre
fols.
Après la diftribution qui eft inégale , il fe
trouve que chaque pauvre a autant de pieces
que l'un de fes voifins a de livres , & autani
de livres que fon autre voifin a de pieces .
On demande combien chaque pauvre reçoit
de pieces de douze fols , & combien de
pieces de vingt-quatre fols.
SOLUTION.
Soient x ,y , z les nombres
de pieces
de douze
fols , x , y , z les nombres
de
pieces
de vingt- quatre
, demandez
. Il eſt
clair
la nature de la question
que x ,
par
1,2 , * , &c . doivent
être des nombres
entiers
pofitifs.
Les conditions du problême fourniſſent
fix équations ; mais de ces fix trois font les
mêmes que les trois autres , ainfi il reſte
pour la folution de la queftion les trois
equations fuivantes ....
x + 1 =
12y +247
20
C
-
12 2 + 242"
2 + 27
20
12 x 24 x*
20
De ces équations on tire , fuivant les
régles de l'Algebre , ces autres- ci .....
SEPTEMBRE. 1755. 133
-
(A ) .... 91x = 902 + 75717x
( B ) ... 917 = 90x + 752 + 17 J
( C ) ... 912' = 90 y +75 x + 17 %
Je fais maintenant dans l'équation ( C )
75x + 172 = p , & je la change en 91 z'
— 90y = p ... ( R ) dans laquelle je remarque
que p étant fuppofé un nombre
entier pofitif , quelconque , puifque les
nombres 91 & 90 coëfficiens de z' & dex
font premiers entr'eux , on pourra toujours
trouver une infinité de nombres entiers &
pofitifs pour & pour y capables de fatisfaire
à cette équation .
z'
Il ne s'agit donc plus , ayant trouvé l'expreffion
générale de toutes les valeurs de y
dans cette équation , que de déterminer
parmi ces valeurs celles qui peuvent fatisfaire
en même tems aux deux autres équations.
Or l'expreffion générale de toutes les
valeurs de y dans l'équation R , eft y = p
+91 u * ( u étant un nombre entier po-
*Cette expreffion eft facile à trouver : L'équation
91 2 ′- 90jp donne y =
+
*'- ; faifant
90 90
90 up , d'où y = p
912 -p
90
น ,
on trouve 2 =
91 ; mais lors mêpas
me que uo , ) , qui pour fors vaut p n'a >
toujours la valeur la plus fimple qu'il puiffe avoir
134 MERCURE DE FRANCE.
fitif, mais moindre que p lorfqu'il eft pris
en ) ; il faut donc fi le problême a quelque
folution, que parmi toutes les valeurs
que peut avoir p + 91 , il y en ait quel
qu'une qui fubftituée à y dans les équations
A & B , rende le fecond membre multiple
de 91 , ou puifque 91 # eft lui - même un
multiple de 91 , il faut que p fubftitué à 7
dans ces mêmes équations rende leur fecond
membre multiple de 91 ; or fi on fair
cette fubftitution en rendant à p fa valeur
75x + 172, on verra facilement que
la chofe a lieu : donc , puifque dans p nous
n'avons affigné aucune valeur particulieàx
& à z , il s'enfuit que quelques valeurs
entieres & pofitives qu'on donne à
& à z , il en résultera toujours des nombres
entiers & pofitifs pour x , y , z J.
Enfin la fubftitution dont nous venons
de parler étant faite , on trouvera ( x &
étant prifes à volonté , ainfi que , pourvû
que x & z foient entiers & pofitifs , & que
и auffi , nombre entier , lorfqu'on le prendra
en
dis-je ,
n'excéde pas 1) on trouvera ,
9.1
c'est pourquoi on peut même prendre négati
vement : or dans ce cas , pour que y foit politif,
il eft facile de voir que p doit être > 91 ½ , où a
SEPTEMBRE. 1755. 239
x = 154 + 62x ± 754
y = 15x + 42 ± 174
2' = 75x + 172 ± 90 n
J = 75x + 172 + 91μ
Par un Anonyme dans le fecond volume du
Mercure de Juin dernier ; Par M. Bezout
, Maître de Mathématiques,
M
.G... ayant propofé dans le Marcure
de Mai un problême d'Algebre,
j'ai effayé d'en donner la folution dans le
Mercure de Juin. Dans le 2d volume de ce
même mois'a paru une autre folution par
un Anonyme. Comme elle eft femblable
à celle de M. G ... je ne ferai aucune remarque
fur cette folution ; ce que j'en dirois
, ne feroit qu'une répétition de ce que
j'ai dit dans le premier Mercure de Juin
& dans celui de Juillet . Cette même folution
eft fuivie d'une invitation faite à M.
G... par l'Anonyme , pour la réfolution
du problême fuivant , fur lequel j'efpere
qu'il voudra bien me permettre de m'eſ-
Layer auffi .
Le problème propofé eft celui- ci : Une
F vj
732 MERCURE DE FRANCE.
perfonne rencontre trois pauvres , & les fai-
Sant ranger en cercle , donne à chacun des
pieces de douze fols , & des pieces de vingtquatre
fols.
Après la diftribution qui eft inégale , il fe
trouve que chaque pauvre a autant de pieces
que l'un de fes voifins a de livres , & autani
de livres que fon autre voifin a de pieces .
On demande combien chaque pauvre reçoit
de pieces de douze fols , & combien de
pieces de vingt-quatre fols.
SOLUTION.
Soient x ,y , z les nombres
de pieces
de douze
fols , x , y , z les nombres
de
pieces
de vingt- quatre
, demandez
. Il eſt
clair
la nature de la question
que x ,
par
1,2 , * , &c . doivent
être des nombres
entiers
pofitifs.
Les conditions du problême fourniſſent
fix équations ; mais de ces fix trois font les
mêmes que les trois autres , ainfi il reſte
pour la folution de la queftion les trois
equations fuivantes ....
x + 1 =
12y +247
20
C
-
12 2 + 242"
2 + 27
20
12 x 24 x*
20
De ces équations on tire , fuivant les
régles de l'Algebre , ces autres- ci .....
SEPTEMBRE. 1755. 133
-
(A ) .... 91x = 902 + 75717x
( B ) ... 917 = 90x + 752 + 17 J
( C ) ... 912' = 90 y +75 x + 17 %
Je fais maintenant dans l'équation ( C )
75x + 172 = p , & je la change en 91 z'
— 90y = p ... ( R ) dans laquelle je remarque
que p étant fuppofé un nombre
entier pofitif , quelconque , puifque les
nombres 91 & 90 coëfficiens de z' & dex
font premiers entr'eux , on pourra toujours
trouver une infinité de nombres entiers &
pofitifs pour & pour y capables de fatisfaire
à cette équation .
z'
Il ne s'agit donc plus , ayant trouvé l'expreffion
générale de toutes les valeurs de y
dans cette équation , que de déterminer
parmi ces valeurs celles qui peuvent fatisfaire
en même tems aux deux autres équations.
Or l'expreffion générale de toutes les
valeurs de y dans l'équation R , eft y = p
+91 u * ( u étant un nombre entier po-
*Cette expreffion eft facile à trouver : L'équation
91 2 ′- 90jp donne y =
+
*'- ; faifant
90 90
90 up , d'où y = p
912 -p
90
น ,
on trouve 2 =
91 ; mais lors mêpas
me que uo , ) , qui pour fors vaut p n'a >
toujours la valeur la plus fimple qu'il puiffe avoir
134 MERCURE DE FRANCE.
fitif, mais moindre que p lorfqu'il eft pris
en ) ; il faut donc fi le problême a quelque
folution, que parmi toutes les valeurs
que peut avoir p + 91 , il y en ait quel
qu'une qui fubftituée à y dans les équations
A & B , rende le fecond membre multiple
de 91 , ou puifque 91 # eft lui - même un
multiple de 91 , il faut que p fubftitué à 7
dans ces mêmes équations rende leur fecond
membre multiple de 91 ; or fi on fair
cette fubftitution en rendant à p fa valeur
75x + 172, on verra facilement que
la chofe a lieu : donc , puifque dans p nous
n'avons affigné aucune valeur particulieàx
& à z , il s'enfuit que quelques valeurs
entieres & pofitives qu'on donne à
& à z , il en résultera toujours des nombres
entiers & pofitifs pour x , y , z J.
Enfin la fubftitution dont nous venons
de parler étant faite , on trouvera ( x &
étant prifes à volonté , ainfi que , pourvû
que x & z foient entiers & pofitifs , & que
и auffi , nombre entier , lorfqu'on le prendra
en
dis-je ,
n'excéde pas 1) on trouvera ,
9.1
c'est pourquoi on peut même prendre négati
vement : or dans ce cas , pour que y foit politif,
il eft facile de voir que p doit être > 91 ½ , où a
SEPTEMBRE. 1755. 239
x = 154 + 62x ± 754
y = 15x + 42 ± 174
2' = 75x + 172 ± 90 n
J = 75x + 172 + 91μ
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Résumé : SOLUTION DU SYSTEME PROPOSÉ Par un Anonyme dans le second volume du Mercure de Juin dernier ; par M. Bezout, Maître de Mathématiques.
Le texte traite d'une discussion mathématique autour d'un problème d'algèbre proposé par M. G... dans le Mercure de Mai. Une première solution a été publiée par M. Bezout dans le Mercure de Juin, suivie d'une solution anonyme similaire. L'auteur du texte ne commente pas ces solutions pour éviter de répéter ses précédentes remarques. L'anonyme invite ensuite M. G... à résoudre un nouveau problème. Ce nouveau problème concerne la distribution inégale de pièces de monnaie (de douze sols et de vingt-quatre sols) à trois pauvres disposés en cercle. Chaque pauvre reçoit un nombre de pièces égal au nombre de livres d'un voisin et un nombre de livres égal au nombre de pièces de l'autre voisin. Le texte demande combien chaque pauvre reçoit de pièces de douze sols et de pièces de vingt-quatre sols. La solution mathématique propose d'utiliser des équations algébriques pour déterminer les nombres de pièces. Les variables x, y et z représentent les nombres de pièces de douze sols et de vingt-quatre sols reçus par chaque pauvre. Les conditions du problème fournissent six équations, mais seulement trois sont indépendantes. L'auteur déduit des équations générales pour x, y et z, et montre que pour toute valeur entière positive de x et z, il existe une solution entière positive pour y. Les solutions générales pour x, y et z sont données par des formules paramétrées par des entiers positifs ou négatifs.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
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