Étienne Bezout (1730-1783)

ALGEBRE.
Réfléxions fur la méthode employée par M.
G.... Ecuyer , Officier de Madame la
Dauphine & de la Société littéraire de
Senlis , pour réfoudre le problême qu'il a
propofe dans le Mercure du mois de Mai
dernier. Par M. Bezout , Maître de
Mathématiques.
'Ai avancé & fuffifamment démontré
J'dans le Mercure de Juin dernier , que
les nombres 551 , 431 , 311 étoient les
feuls qui fatisfaifoient à toutes les conditions
du problême , & les raifonnemens
fur lefquels j'ai appuyé mon affertion ont
pû donner à connoître que la forme indéterminée
que donnoit M. G. à la folution
du problême , ne pouvoit venir que de ce
qu'il auroit fous-entendu ( par quelque
caufe que ce puiffe être ) l'expreffion de
quelques - unes des conditions du problême .
C'est l'opinion dans laquelle j'ai toujours
été & dans laquelle j'ai été confirmé en
110 MERCURE DE FRANCE.
donnant à u quelques valeurs dans les expreffions
de x, y , z qu'a données M. G.
& en dernier lieu par la lecture de fa méthode
.
M. G. après avoir rappellé les 6 , 7 & -
8 conditions de fon énoncé , pourfuit en
difant , l'on fera donc pour remplir les 7 &
buitieme conditions cette analogie , & c . 140 :
61 ::
x + 9
210p -1059 +7
7
-4 y
7
420 p- 3369-
28
4
; au moyen de cette analogie
, il réduit à une feule u les deux indéterminées
p & q , & transforme les valeurs
préparées de x , y , z en celles qu'il
avoit annoncées .
Mais la folution eft - elle achevée ? toutes
les conditions du problême ont-elles été
parcourues & exprimées ? Il me femble
que non ; car je ne vois aucune expreffion
du rapport de la perte faire au premier
pofte à la perte faite au troifieme.
Cependant, dira- t- on , les nombres 5 5 1,
431 , 311 trouvez par cette méthode ,
fatisfont à toutes les conditions du problême
? cela eft vrai ; mais c'eſt par hazard .
Un nombre qui fatisfait à certaines conditions
demandées a encore la propriété de
fatisfaire à beaucoup d'autres qu'on ne lui
demande pas.
D'ailleurs pour fe convaincre
que c'eſt par hazard qu'ils fatisfont à
4
4
JUILLET . 1753 111
cette derniere condition : on n'a qu'à réfoudre
le problême comme s'il étoit énoncé
fans cette même condition , & alors la
queftion qui fera effectivement indéterminée
aura pour les nombres les plus fimples
qui rempliffent les conditions , les
mêmes nombres 551 , 431 , 311 .
que Je ne crois pas non plus qu'on dife
le rapport de la perte faite au premier
pofte à la perte faire au fecond , détermine
ces deux chofes ; 1º. le rapport ddee llaa perte
faite au premier pofte à la perte faite au
troifieme ; 2 °. que la perte faite à ce troifieme
pofte foit le tiers du nombre des
troupes qu'on y avoit envoyées : le problême
dans ce cas feroit à la vérité indéterminé
, & on auroit eu raifon de fousentendre
la derniere condition , parce
qu'elle auroit été renfermée dans la précédente
; mais c'eft ce qu'on ne voit point
& qu'on ne peut voir , car les équations
que fourniffent ces deux conditions , font
très- différentes & ne peuvent être conclues
l'une de l'autre.
Il fuit de là 1 ° . qu'abſtraction faite des
nombres 551 , 431 , 311 , tous les autres
qui font annoncés dans le Mercure de
Mai , doivent manquer à la huitieme condition
, & ils y manquent en effet .
2°. Qu'abſtraction faite des mêmes
112 MERCURE DE FRANCE .
nombres $ 51 , &c. tous les autres qu'on
propofe de nouveau , comme trouvés par
la huitieme condition manquent néceffairement
à la feptieme , & ils y manquent
en effet.
Enfin de ce que des deux différentes
manieres qu'on propofe pour trouver x
y , z, la premiere en omettant ainsi qu'il
paroît ) la huitieme condition ; la feconde
en omettant la feptieme condition , il
en réfulte des valeurs différentes ; on en
doit , ce me femble , conclure que les feptieme
& huitieme conditions font trèsdifférentes
entr'elles ; qu'elles doivent par
conféquent fournir chacune une équation
& déterminer le problême , ainfi que je
l'ai avancé .
Nous donnerons le Mercure prochain
la réponſe de M. G. dans laquelle il a la
noble franchife de convenir qu'il s'ekt
trompé, & que fon problême eft en effet
déterminé comme M. Bezout le prétend.

Le texte relate une controverse mathématique entre M. Bezout et M. G. concernant la résolution d'un problème d'algèbre. M. Bezout affirme que les nombres 551, 431 et 311 sont les seuls à satisfaire toutes les conditions du problème posé par M. G. dans le Mercure de mai. Il critique la méthode de M. G., estimant que ce dernier a mal interprété certaines conditions, ce qui a conduit à une forme indéterminée de la solution. M. Bezout souligne que, bien que les nombres trouvés par M. G. satisfassent les conditions, c'est par hasard. Il explique que ces nombres satisfont également d'autres conditions non demandées. Il ajoute que la méthode de M. G. omet certaines conditions essentielles, comme le rapport entre les pertes aux différents postes. M. Bezout conclut que les septième et huitième conditions sont distinctes et doivent chacune fournir une équation pour déterminer le problème. Il annonce que M. G. reconnaîtra son erreur dans le prochain Mercure, admettant que le problème est déterminé comme le prétend M. Bezout.

Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.

SOLUTION DU SYSTEME PROPOSÉ
Par un Anonyme dans le fecond volume du
Mercure de Juin dernier ; Par M. Bezout
, Maître de Mathématiques,
M
.G... ayant propofé dans le Marcure
de Mai un problême d'Algebre,
j'ai effayé d'en donner la folution dans le
Mercure de Juin. Dans le 2d volume de ce
même mois'a paru une autre folution par
un Anonyme. Comme elle eft femblable
à celle de M. G ... je ne ferai aucune remarque
fur cette folution ; ce que j'en dirois
, ne feroit qu'une répétition de ce que
j'ai dit dans le premier Mercure de Juin
& dans celui de Juillet . Cette même folution
eft fuivie d'une invitation faite à M.
G... par l'Anonyme , pour la réfolution
du problême fuivant , fur lequel j'efpere
qu'il voudra bien me permettre de m'eſ-
Layer auffi .
Le problème propofé eft celui- ci : Une
F vj
732 MERCURE DE FRANCE.
perfonne rencontre trois pauvres , & les fai-
Sant ranger en cercle , donne à chacun des
pieces de douze fols , & des pieces de vingtquatre
fols.
Après la diftribution qui eft inégale , il fe
trouve que chaque pauvre a autant de pieces
que l'un de fes voifins a de livres , & autani
de livres que fon autre voifin a de pieces .
On demande combien chaque pauvre reçoit
de pieces de douze fols , & combien de
pieces de vingt-quatre fols.
SOLUTION.
Soient x ,y , z les nombres
de pieces
de douze
fols , x , y , z les nombres
de
pieces
de vingt- quatre
, demandez
. Il eſt
clair
la nature de la question
que x ,
par
1,2 , * , &c . doivent
être des nombres
entiers
pofitifs.
Les conditions du problême fourniſſent
fix équations ; mais de ces fix trois font les
mêmes que les trois autres , ainfi il reſte
pour la folution de la queftion les trois
equations fuivantes ....
x + 1 =
12y +247
20
C
-
12 2 + 242"
2 + 27
20
12 x 24 x*
20
De ces équations on tire , fuivant les
régles de l'Algebre , ces autres- ci .....
SEPTEMBRE. 1755. 133
-
(A ) .... 91x = 902 + 75717x
( B ) ... 917 = 90x + 752 + 17 J
( C ) ... 912' = 90 y +75 x + 17 %
Je fais maintenant dans l'équation ( C )
75x + 172 = p , & je la change en 91 z'
— 90y = p ... ( R ) dans laquelle je remarque
que p étant fuppofé un nombre
entier pofitif , quelconque , puifque les
nombres 91 & 90 coëfficiens de z' & dex
font premiers entr'eux , on pourra toujours
trouver une infinité de nombres entiers &
pofitifs pour & pour y capables de fatisfaire
à cette équation .
z'
Il ne s'agit donc plus , ayant trouvé l'expreffion
générale de toutes les valeurs de y
dans cette équation , que de déterminer
parmi ces valeurs celles qui peuvent fatisfaire
en même tems aux deux autres équations.
Or l'expreffion générale de toutes les
valeurs de y dans l'équation R , eft y = p
+91 u * ( u étant un nombre entier po-
*Cette expreffion eft facile à trouver : L'équation
91 2 ′- 90jp donne y =
+
*'- ; faifant
90 90
90 up , d'où y = p
912 -p
90
น ,
on trouve 2 =
91 ; mais lors mêpas
me que uo , ) , qui pour fors vaut p n'a >
toujours la valeur la plus fimple qu'il puiffe avoir
134 MERCURE DE FRANCE.
fitif, mais moindre que p lorfqu'il eft pris
en ) ; il faut donc fi le problême a quelque
folution, que parmi toutes les valeurs
que peut avoir p + 91 , il y en ait quel
qu'une qui fubftituée à y dans les équations
A & B , rende le fecond membre multiple
de 91 , ou puifque 91 # eft lui - même un
multiple de 91 , il faut que p fubftitué à 7
dans ces mêmes équations rende leur fecond
membre multiple de 91 ; or fi on fair
cette fubftitution en rendant à p fa valeur
75x + 172, on verra facilement que
la chofe a lieu : donc , puifque dans p nous
n'avons affigné aucune valeur particulieàx
& à z , il s'enfuit que quelques valeurs
entieres & pofitives qu'on donne à
& à z , il en résultera toujours des nombres
entiers & pofitifs pour x , y , z J.
Enfin la fubftitution dont nous venons
de parler étant faite , on trouvera ( x &
étant prifes à volonté , ainfi que , pourvû
que x & z foient entiers & pofitifs , & que
и auffi , nombre entier , lorfqu'on le prendra
en
dis-je ,
n'excéde pas 1) on trouvera ,
9.1
c'est pourquoi on peut même prendre négati
vement : or dans ce cas , pour que y foit politif,
il eft facile de voir que p doit être > 91 ½ , où a
SEPTEMBRE. 1755. 239
x = 154 + 62x ± 754
y = 15x + 42 ± 174
2' = 75x + 172 ± 90 n
J = 75x + 172 + 91μ

Le texte traite d'une discussion mathématique autour d'un problème d'algèbre proposé par M. G... dans le Mercure de Mai. Une première solution a été publiée par M. Bezout dans le Mercure de Juin, suivie d'une solution anonyme similaire. L'auteur du texte ne commente pas ces solutions pour éviter de répéter ses précédentes remarques. L'anonyme invite ensuite M. G... à résoudre un nouveau problème. Ce nouveau problème concerne la distribution inégale de pièces de monnaie (de douze sols et de vingt-quatre sols) à trois pauvres disposés en cercle. Chaque pauvre reçoit un nombre de pièces égal au nombre de livres d'un voisin et un nombre de livres égal au nombre de pièces de l'autre voisin. Le texte demande combien chaque pauvre reçoit de pièces de douze sols et de pièces de vingt-quatre sols. La solution mathématique propose d'utiliser des équations algébriques pour déterminer les nombres de pièces. Les variables x, y et z représentent les nombres de pièces de douze sols et de vingt-quatre sols reçus par chaque pauvre. Les conditions du problème fournissent six équations, mais seulement trois sont indépendantes. L'auteur déduit des équations générales pour x, y et z, et montre que pour toute valeur entière positive de x et z, il existe une solution entière positive pour y. Les solutions générales pour x, y et z sont données par des formules paramétrées par des entiers positifs ou négatifs.

Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.