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1
p. 88-95
Méthode de solution du problême d'algébre appliqué à la science de la guerre, annoncé dans le Mercure de Mai 1755, page 87, à M. Censeur & Professeur royal ; par M. G. Ecuyer, Officier de Madame la Dauphine, & de la Société Littéraire de Senlis.
Début :
Il est juste de remplir ses engagemens, l'honneur nous y oblige. Tout l'art de la [...]
Mots clefs :
Problème d'algèbre, Science de la guerre, Professeur royal, Société littéraire de Senlis
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texteReconnaissance textuelle : Méthode de solution du problême d'algébre appliqué à la science de la guerre, annoncé dans le Mercure de Mai 1755, page 87, à M. Censeur & Professeur royal ; par M. G. Ecuyer, Officier de Madame la Dauphine, & de la Société Littéraire de Senlis.
Méthode de folution du problême d'algébre
appliqué à la fcience de la guerre , annons
cé dans le Mercure de Mai 1755 , page
87 , à M. de M. Cenfeur & Profeffeur
royal; par M. G. Ecuyer , Officier de Madame
la Dauphine , & de la Société Liti
téraire de Senlis.
It our oblige. Tout
y
dela
Left jufte de remplir fes engagemens ,
méthode de folution du problême confifte à
fuppofer , felon la magie ordinaire de l'al
gébre , des quotiens fictifs qui fe terminent
finalement à un quotient exact & réel , lequel
devient , malgré fon indétermination,
la commune mefure , le lieu commun , l'expreffion
des relations mutuelles des incon →
véniens qui entrent dans la queftion.
La premiere condition du problême eft
telle : lorfqu'on rangeoit les foldats du premier
détachement fur trois de hauteur , il
y en avoit deux de refte , & lorfqu'on les
rangeoit fur quatre , il en reftoit trois.
Cette condition & les deux fuivantes
prifes dans un point de vue , pour ainfi
dire ifolé , contiennent en elles - mêmes
des problêmes parfaitement diftincts . On
verra qu'ils n'acquerront de liaifon entre
JUIN. 1755 . 89
eux que par la quatrieme condition. Soir
donc nommé x le premier détachement , a
le nombre des compres par 3 , & b celui
des comptes par 4 , l'on aura x =
3 a +
2 = 46 + 3 ; donc 3 a 4 b + 1 ;
bt
b ++ : foit fuppofe
3
=
3
donc b + 1 = 30 , b = 30
--
.1; donc
b + 3 = x = 120—4 + 3 = 120 —
- 1 ; ci pour mémoire , x = 12 c Par
la feconde condition , lorfqu'on rangeoit
les troupes du fecond détachement fur
de hauteur , il en reftoit un ; & lorsqu'on
les rangeoit fur 7 , il en reftoit 4. Soit donc
nommé y ce fecond détachement , d les
comptes par 5 , & e ceux des comptes par
7 ; donc y = 5 d + 1 = 7e + 4 ; 5 d
= 7e + 3 ; d = e + 2 +3 foit
: conçu
e
5
2º+3 =ƒf;; donc 2e +3 = 5 ƒ» 2 0
f-
= sf − 336 = 2f + 3 , concevant
f
21
ƒ——g ; doncƒ— 3 — 28 ; f= 28+3 ;
2f486 ; donce = 48+ 6 + g
= 5 g + 6; donc 7 e +4 ou y = 358 +42
2
+ 4 = 358 + 358 + 46 ; ci pour mémoire , y
=35g8 +46.
Dans la troifieme condition il eft dit ,
que lorfqu'on rangeoit les foldats du troi90
MERCURE DE FRANCE.
fieme détachement fur 7 de hauteur , il y
en avoit 3 de refte ; & lorfqu'on les rangeoit
fur 9 , il en reftoit 5. Soit nommé z
ce troifieme détachement , b les comptes
par 7 , & k ceux par 9 , l'on aura 76
+ 3 = 9k + 5 ; donc b = b = k+
2k+2
ſuppoſant
2 +1 = 1 ; donc 2k + 2 =
7
-
2
71,2 k = 71—2k = 3 1+ ²² fai-
2
2
fant = m ; donc / = 2 m + 2 , & par
conféquent k = 6m +m + 6 = 7m+ 6;
donc 9k + 5 ou 2 = 9 × 7m + 6+ 5=
63m + 59.
2 = 63m + 59
y = 35 g +46
x= 12C -- I
L'on a donc les valeurs des trois inconnues
exprimées par trois indéterminées
différentes , & qui en font trois problêmes
parfaitement diftincts ; effectivement 10.
douze comptes par trois moins l'unité, égalent
onze comptes par trois , & deux de
refte ; douze comptes par quatre moins l'unité
, font égaux à onze comptes par quatre
, plus 3 de refte.
2º. On a 7 g comptes pars plus 9 comptes
par 5 ( 45 ) & l'unité de refte , & is ,
comptes par 7 , plus 6 comptespar 7 , & 4
de refte.
JUIN. 1755.
3°. L'on a 9 m × 7 ou 63 comptes par 7,
plus 8 comptes par 7 ( 56 ) & 3 de refte ;
enfin l'on a 7 m × 9 ou 63 comptes par 9 ,
plus 6 comptes par 9 5 & 5 de refte. C.q.
f. d. 1°.
Telle eft la quatrieme condition ; les
trois détachemens étoient en proportion
arithmétique continue , ou le premier détachement
joint au troifieme étoit double
du fecond , ce qui donne
2 × 358 + 46 = 70 g + 92 = 12 G
→ 1 + 63m + 59 , d'où l'on tire 126
=70g — 63 m + 3 4 ; c = 5. g → sm
+ 2 + 10g 3 m + 10 , fuppofant
-
108 = 3m + 10
12
-
*
12
f
= u ; donc 10 g + 10
3 m = 12 u ; 10 g = 122 — 10+
น
3 mg = u ~ 1 + 3 m + 2 ; 3 m + 2 u
-
" 10
I
IO
p ; donc 2 + 3 m = 10 p ; 2 u = 10p
— 3 m , u = 5 pm - m , foitm =
q;
donc m = 2q ; fubftituant par tout en
retrogradant cette valeur de m , l'on aura
= SP - 39.
8 = 5p - 39-1 + 6 + 101 - 6
-
ΙΟ
u
= 6 p — 3 q — i ; donc 358+ 46 ouy
39
92 MERCURE DE FRANCE.
= 35 × 6p - 3 9-146210p
-105 q-+ u.
120- I ou x 420p
& x =1269+ 59 , & les réuniffant l'on a
—
--
336 - 37,
qui rempliffent
les
4 premiex
= 420p 3369 37
y = 210 p
2 =
105 9 + 11
+1269+ Se
res conditions.
-
Effectivement 1 ° , l'on a 140 px 3+
1129 × 3-12 x 31 Ou11 × 3 + 2
& п05p4 84 9 × 4 — 9 × 4 - 1 Oll
- 8 × 4 + 3 .
{ 2 °. L'on a 42 px S
>
- OÙ
·-21.9x5 + 2
- * 5 + 1 & 3 0 p × 7 1 5 9 × 7 + 7
+4.
3 °. 189 × 7 + 8 × 7 + 3 , & 149
9 +6 × 9 + 5 .
420p
-
4°. Enfin 420 p = 336 937 +126
a + 49
2109 +22 2
x2100-1059 +11 . C. q. f. 2 ° . d.
Par la fixieme condition on perdit le
quart du premier détachement augmenté
de neuf hommes ; par la feptieme on perdit
le feptieme des troupes du fecond détachement
diminué de quatre hommes ;
& par la huitieme on perdit le tiers des
troupes du troifieme détachement diminué
de cinq hommes. La perte du premier pofte
étoit à celle du fecond comme 140 à
JUIN. 1755.
93
61 , & la perte du premier pofte à celle du
troifieme , comme 70 à 51. L'on fera donc
pour remplir les feptieme & huitieme conditions
, cette analogie , qui va réduire les
deux indéterminées p & gà une feule ».
x +23-4420p - 3369-28.
140.61 :: ::
-
4. 7
310 p = 105 9 +7 , d'où l'on tire 61 *
7
420p 33 9 -28
4
140 x 210 p 1059+ 7,
7
-129
I
ou 61 × 7 * 4 * ISP ::
30P - 159 + 1 x 20 x 7 , ou 915p +
7329-61600p — 3009 + 20 , ou
315 p = 4329 +81 ; donc 105 p =
1449+ 27335 p = 4 8 9 + 9 ; p = q
++ 139 +2 , 139+9
fuppofant 13 m ; donc
35 35
339 + 9 = 35 m , 1 3 q = 3 5 m — 9 ,
9 = 2m
9 m -
m
13
J
faifant 99
13
= 13 u , m zu +1 +
4น
9
-
faifant = √ 4 = 9 √ ‚ u :
+ √ , faiſfant√ = ; donc √ 4 ,
& fubftituant par-tout à la place de cette
valeur en rétrogradant , l'on aura √
4u , u = 9u , m = 13 u + 1,9 = 35 n
+ 1 ; p = 48 +3 ; & mettant ces valeurs
de p & de q dans celles de x , y , z ,
l'on aura x 420 × 48. × + 3
× 352 + 2 ~ 378400 + 55 =x
----
336
}
94 MERCURE DE FRANCE.
-
7 = 210 × 45 × + 3 → 105 × 35
1 + 2 + 11 = 6405 + 431 = y
z = 126 × 35 + 1 + 59 = 4410
# + 311 = ~ ,
qui font les trois nombres qu'on a démontrés
dans le Mercure dernier devoir remplir
toutes les conditions du problême.
En fait de fciences exactes & de raiſonnement
, il eſt des fautes heureuſes , & il
eft quelquefois avantageux de tomber dans
des paralogifmes , fur-tout lorfque leur
découverte nous ouvre les fources de l'erreur
, & nous apprend à éviter les routes
fauffes dans lesquelles nous nous étions
engagés ; fouvent l'erreur fert à approfondir
des vérités qu'on n'avoit fait qu'ef
fleurer. Les obfervations qui vont fuivre
ferviront à nous en convaincre.
OBSERVATION S.
1º. Si l'on avoit cherché les valeurs de
x ,y,z en une feule indéterminée par la
huitieme condition , on auroit eu en fuivant
toujours notre méthode ,
x = 58800 S +55 1
y = 45465S + 431
L = 32130 S + 311
qui fatisfait également à tout , mais dont
le premier membre eft feptuple du premiermembre
des nombres ci-devant trouvés ,
JUIN. 17553
95
& qui rendent par conféquent la folution
moins étendue & moins élégante.
2º. On pouvoit réfoudre la huitieme
condition comme un problême particulier,
en faifant +9.25 : 70 , 51 , ce qui
4 3
auroit donné x 280 19 , & z = 153 = tb
+ s , qui ne remplit que cette feule condition
, ce qui fait voir la néceffité d'employer
à la place de x & z qui font les dénominations
qu'on a donné d'abord aux
premier & troifieme détachemens , la néceffité
, dis-je , d'employer leurs valeurs
trouvées en p & q par notre méthode.
3. Si on eût choisi un rapport des
pertes du premier & du fecond détachement
différent de celui de 140 à 61 ; par
exemple , fi on eût fait 2.2
420p - 3369-37 . 2100-105 9 + 11
4
à 4 , on auroit eu
x= 37800+ 6039
y= 88200 + 14116
2 = 13860V + 22193
4 оц
qui ne fatisfont qu'à quelques parties des
conditions du problême , par cette feule
raifon que les valeurs de x , y , z , expriprimées
en p & q , avoient acquis par les
conditions multipliées une relation , pour
ainfi dire , intrinféque , & qu'en leur en
attribuant une nouvelle on dénature les
valeurs de p & de q.
appliqué à la fcience de la guerre , annons
cé dans le Mercure de Mai 1755 , page
87 , à M. de M. Cenfeur & Profeffeur
royal; par M. G. Ecuyer , Officier de Madame
la Dauphine , & de la Société Liti
téraire de Senlis.
It our oblige. Tout
y
dela
Left jufte de remplir fes engagemens ,
méthode de folution du problême confifte à
fuppofer , felon la magie ordinaire de l'al
gébre , des quotiens fictifs qui fe terminent
finalement à un quotient exact & réel , lequel
devient , malgré fon indétermination,
la commune mefure , le lieu commun , l'expreffion
des relations mutuelles des incon →
véniens qui entrent dans la queftion.
La premiere condition du problême eft
telle : lorfqu'on rangeoit les foldats du premier
détachement fur trois de hauteur , il
y en avoit deux de refte , & lorfqu'on les
rangeoit fur quatre , il en reftoit trois.
Cette condition & les deux fuivantes
prifes dans un point de vue , pour ainfi
dire ifolé , contiennent en elles - mêmes
des problêmes parfaitement diftincts . On
verra qu'ils n'acquerront de liaifon entre
JUIN. 1755 . 89
eux que par la quatrieme condition. Soir
donc nommé x le premier détachement , a
le nombre des compres par 3 , & b celui
des comptes par 4 , l'on aura x =
3 a +
2 = 46 + 3 ; donc 3 a 4 b + 1 ;
bt
b ++ : foit fuppofe
3
=
3
donc b + 1 = 30 , b = 30
--
.1; donc
b + 3 = x = 120—4 + 3 = 120 —
- 1 ; ci pour mémoire , x = 12 c Par
la feconde condition , lorfqu'on rangeoit
les troupes du fecond détachement fur
de hauteur , il en reftoit un ; & lorsqu'on
les rangeoit fur 7 , il en reftoit 4. Soit donc
nommé y ce fecond détachement , d les
comptes par 5 , & e ceux des comptes par
7 ; donc y = 5 d + 1 = 7e + 4 ; 5 d
= 7e + 3 ; d = e + 2 +3 foit
: conçu
e
5
2º+3 =ƒf;; donc 2e +3 = 5 ƒ» 2 0
f-
= sf − 336 = 2f + 3 , concevant
f
21
ƒ——g ; doncƒ— 3 — 28 ; f= 28+3 ;
2f486 ; donce = 48+ 6 + g
= 5 g + 6; donc 7 e +4 ou y = 358 +42
2
+ 4 = 358 + 358 + 46 ; ci pour mémoire , y
=35g8 +46.
Dans la troifieme condition il eft dit ,
que lorfqu'on rangeoit les foldats du troi90
MERCURE DE FRANCE.
fieme détachement fur 7 de hauteur , il y
en avoit 3 de refte ; & lorfqu'on les rangeoit
fur 9 , il en reftoit 5. Soit nommé z
ce troifieme détachement , b les comptes
par 7 , & k ceux par 9 , l'on aura 76
+ 3 = 9k + 5 ; donc b = b = k+
2k+2
ſuppoſant
2 +1 = 1 ; donc 2k + 2 =
7
-
2
71,2 k = 71—2k = 3 1+ ²² fai-
2
2
fant = m ; donc / = 2 m + 2 , & par
conféquent k = 6m +m + 6 = 7m+ 6;
donc 9k + 5 ou 2 = 9 × 7m + 6+ 5=
63m + 59.
2 = 63m + 59
y = 35 g +46
x= 12C -- I
L'on a donc les valeurs des trois inconnues
exprimées par trois indéterminées
différentes , & qui en font trois problêmes
parfaitement diftincts ; effectivement 10.
douze comptes par trois moins l'unité, égalent
onze comptes par trois , & deux de
refte ; douze comptes par quatre moins l'unité
, font égaux à onze comptes par quatre
, plus 3 de refte.
2º. On a 7 g comptes pars plus 9 comptes
par 5 ( 45 ) & l'unité de refte , & is ,
comptes par 7 , plus 6 comptespar 7 , & 4
de refte.
JUIN. 1755.
3°. L'on a 9 m × 7 ou 63 comptes par 7,
plus 8 comptes par 7 ( 56 ) & 3 de refte ;
enfin l'on a 7 m × 9 ou 63 comptes par 9 ,
plus 6 comptes par 9 5 & 5 de refte. C.q.
f. d. 1°.
Telle eft la quatrieme condition ; les
trois détachemens étoient en proportion
arithmétique continue , ou le premier détachement
joint au troifieme étoit double
du fecond , ce qui donne
2 × 358 + 46 = 70 g + 92 = 12 G
→ 1 + 63m + 59 , d'où l'on tire 126
=70g — 63 m + 3 4 ; c = 5. g → sm
+ 2 + 10g 3 m + 10 , fuppofant
-
108 = 3m + 10
12
-
*
12
f
= u ; donc 10 g + 10
3 m = 12 u ; 10 g = 122 — 10+
น
3 mg = u ~ 1 + 3 m + 2 ; 3 m + 2 u
-
" 10
I
IO
p ; donc 2 + 3 m = 10 p ; 2 u = 10p
— 3 m , u = 5 pm - m , foitm =
q;
donc m = 2q ; fubftituant par tout en
retrogradant cette valeur de m , l'on aura
= SP - 39.
8 = 5p - 39-1 + 6 + 101 - 6
-
ΙΟ
u
= 6 p — 3 q — i ; donc 358+ 46 ouy
39
92 MERCURE DE FRANCE.
= 35 × 6p - 3 9-146210p
-105 q-+ u.
120- I ou x 420p
& x =1269+ 59 , & les réuniffant l'on a
—
--
336 - 37,
qui rempliffent
les
4 premiex
= 420p 3369 37
y = 210 p
2 =
105 9 + 11
+1269+ Se
res conditions.
-
Effectivement 1 ° , l'on a 140 px 3+
1129 × 3-12 x 31 Ou11 × 3 + 2
& п05p4 84 9 × 4 — 9 × 4 - 1 Oll
- 8 × 4 + 3 .
{ 2 °. L'on a 42 px S
>
- OÙ
·-21.9x5 + 2
- * 5 + 1 & 3 0 p × 7 1 5 9 × 7 + 7
+4.
3 °. 189 × 7 + 8 × 7 + 3 , & 149
9 +6 × 9 + 5 .
420p
-
4°. Enfin 420 p = 336 937 +126
a + 49
2109 +22 2
x2100-1059 +11 . C. q. f. 2 ° . d.
Par la fixieme condition on perdit le
quart du premier détachement augmenté
de neuf hommes ; par la feptieme on perdit
le feptieme des troupes du fecond détachement
diminué de quatre hommes ;
& par la huitieme on perdit le tiers des
troupes du troifieme détachement diminué
de cinq hommes. La perte du premier pofte
étoit à celle du fecond comme 140 à
JUIN. 1755.
93
61 , & la perte du premier pofte à celle du
troifieme , comme 70 à 51. L'on fera donc
pour remplir les feptieme & huitieme conditions
, cette analogie , qui va réduire les
deux indéterminées p & gà une feule ».
x +23-4420p - 3369-28.
140.61 :: ::
-
4. 7
310 p = 105 9 +7 , d'où l'on tire 61 *
7
420p 33 9 -28
4
140 x 210 p 1059+ 7,
7
-129
I
ou 61 × 7 * 4 * ISP ::
30P - 159 + 1 x 20 x 7 , ou 915p +
7329-61600p — 3009 + 20 , ou
315 p = 4329 +81 ; donc 105 p =
1449+ 27335 p = 4 8 9 + 9 ; p = q
++ 139 +2 , 139+9
fuppofant 13 m ; donc
35 35
339 + 9 = 35 m , 1 3 q = 3 5 m — 9 ,
9 = 2m
9 m -
m
13
J
faifant 99
13
= 13 u , m zu +1 +
4น
9
-
faifant = √ 4 = 9 √ ‚ u :
+ √ , faiſfant√ = ; donc √ 4 ,
& fubftituant par-tout à la place de cette
valeur en rétrogradant , l'on aura √
4u , u = 9u , m = 13 u + 1,9 = 35 n
+ 1 ; p = 48 +3 ; & mettant ces valeurs
de p & de q dans celles de x , y , z ,
l'on aura x 420 × 48. × + 3
× 352 + 2 ~ 378400 + 55 =x
----
336
}
94 MERCURE DE FRANCE.
-
7 = 210 × 45 × + 3 → 105 × 35
1 + 2 + 11 = 6405 + 431 = y
z = 126 × 35 + 1 + 59 = 4410
# + 311 = ~ ,
qui font les trois nombres qu'on a démontrés
dans le Mercure dernier devoir remplir
toutes les conditions du problême.
En fait de fciences exactes & de raiſonnement
, il eſt des fautes heureuſes , & il
eft quelquefois avantageux de tomber dans
des paralogifmes , fur-tout lorfque leur
découverte nous ouvre les fources de l'erreur
, & nous apprend à éviter les routes
fauffes dans lesquelles nous nous étions
engagés ; fouvent l'erreur fert à approfondir
des vérités qu'on n'avoit fait qu'ef
fleurer. Les obfervations qui vont fuivre
ferviront à nous en convaincre.
OBSERVATION S.
1º. Si l'on avoit cherché les valeurs de
x ,y,z en une feule indéterminée par la
huitieme condition , on auroit eu en fuivant
toujours notre méthode ,
x = 58800 S +55 1
y = 45465S + 431
L = 32130 S + 311
qui fatisfait également à tout , mais dont
le premier membre eft feptuple du premiermembre
des nombres ci-devant trouvés ,
JUIN. 17553
95
& qui rendent par conféquent la folution
moins étendue & moins élégante.
2º. On pouvoit réfoudre la huitieme
condition comme un problême particulier,
en faifant +9.25 : 70 , 51 , ce qui
4 3
auroit donné x 280 19 , & z = 153 = tb
+ s , qui ne remplit que cette feule condition
, ce qui fait voir la néceffité d'employer
à la place de x & z qui font les dénominations
qu'on a donné d'abord aux
premier & troifieme détachemens , la néceffité
, dis-je , d'employer leurs valeurs
trouvées en p & q par notre méthode.
3. Si on eût choisi un rapport des
pertes du premier & du fecond détachement
différent de celui de 140 à 61 ; par
exemple , fi on eût fait 2.2
420p - 3369-37 . 2100-105 9 + 11
4
à 4 , on auroit eu
x= 37800+ 6039
y= 88200 + 14116
2 = 13860V + 22193
4 оц
qui ne fatisfont qu'à quelques parties des
conditions du problême , par cette feule
raifon que les valeurs de x , y , z , expriprimées
en p & q , avoient acquis par les
conditions multipliées une relation , pour
ainfi dire , intrinféque , & qu'en leur en
attribuant une nouvelle on dénature les
valeurs de p & de q.
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Résumé : Méthode de solution du problême d'algébre appliqué à la science de la guerre, annoncé dans le Mercure de Mai 1755, page 87, à M. Censeur & Professeur royal ; par M. G. Ecuyer, Officier de Madame la Dauphine, & de la Société Littéraire de Senlis.
Le document expose une méthode de résolution d'un problème d'algèbre appliquée à la science de la guerre, présentée dans le Mercure de Mai 1755 par M. G. Ecuyer. Cette méthode utilise des quotients fictifs pour déterminer des quotients exacts et réels, servant de mesure commune pour les relations mutuelles des inconvénients dans la question. Le problème initial consiste à déterminer le nombre de soldats dans trois détachements en fonction de conditions spécifiques de rangement. Pour le premier détachement, lorsqu'on range les soldats par trois, il en reste deux, et par quatre, il en reste trois. Pour le second détachement, lorsqu'on range les soldats par cinq, il en reste un, et par sept, il en reste quatre. Pour le troisième détachement, lorsqu'on range les soldats par sept, il en reste trois, et par neuf, il en reste cinq. Les conditions sont résolues en utilisant des équations algébriques, aboutissant à des valeurs pour les trois détachements exprimées par des indéterminées différentes. La quatrième condition révèle que les détachements sont en proportion arithmétique continue, permettant de lier les trois problèmes distincts. Les pertes subies par chaque détachement sont également prises en compte, avec des rapports spécifiques entre les pertes des différents détachements. Les valeurs finales des détachements sont calculées pour satisfaire toutes les conditions du problème. Le document conclut en soulignant l'importance des erreurs heureuses et des paralogismes dans l'approfondissement des vérités scientifiques. Il présente également des observations sur les différentes méthodes de résolution et les conséquences de choisir des rapports de pertes différents.
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p. 109-112
Réflexions sur la méthode employée par M. G.... Ecuyer, Officier de Madame la Dauphine & de la Société littéraire de Senlis, pour résoudre le problême qu'il a proposé dans le Mercure du mois de Mai dernier. Par M. Bezout, Maître de Mathématiques.
Début :
J'ai avancé & suffisamment démontré dans le Mercure de Juin dernier, que [...]
Mots clefs :
Maître de mathématiques, Société littéraire de Senlis, Algèbre, Mathématiques, Problème d'algèbre
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texteReconnaissance textuelle : Réflexions sur la méthode employée par M. G.... Ecuyer, Officier de Madame la Dauphine & de la Société littéraire de Senlis, pour résoudre le problême qu'il a proposé dans le Mercure du mois de Mai dernier. Par M. Bezout, Maître de Mathématiques.
ALGEBRE.
Réfléxions fur la méthode employée par M.
G.... Ecuyer , Officier de Madame la
Dauphine & de la Société littéraire de
Senlis , pour réfoudre le problême qu'il a
propofe dans le Mercure du mois de Mai
dernier. Par M. Bezout , Maître de
Mathématiques.
'Ai avancé & fuffifamment démontré
J'dans le Mercure de Juin dernier , que
les nombres 551 , 431 , 311 étoient les
feuls qui fatisfaifoient à toutes les conditions
du problême , & les raifonnemens
fur lefquels j'ai appuyé mon affertion ont
pû donner à connoître que la forme indéterminée
que donnoit M. G. à la folution
du problême , ne pouvoit venir que de ce
qu'il auroit fous-entendu ( par quelque
caufe que ce puiffe être ) l'expreffion de
quelques - unes des conditions du problême .
C'est l'opinion dans laquelle j'ai toujours
été & dans laquelle j'ai été confirmé en
110 MERCURE DE FRANCE.
donnant à u quelques valeurs dans les expreffions
de x, y , z qu'a données M. G.
& en dernier lieu par la lecture de fa méthode
.
M. G. après avoir rappellé les 6 , 7 & -
8 conditions de fon énoncé , pourfuit en
difant , l'on fera donc pour remplir les 7 &
buitieme conditions cette analogie , & c . 140 :
61 ::
x + 9
210p -1059 +7
7
-4 y
7
420 p- 3369-
28
4
; au moyen de cette analogie
, il réduit à une feule u les deux indéterminées
p & q , & transforme les valeurs
préparées de x , y , z en celles qu'il
avoit annoncées .
Mais la folution eft - elle achevée ? toutes
les conditions du problême ont-elles été
parcourues & exprimées ? Il me femble
que non ; car je ne vois aucune expreffion
du rapport de la perte faire au premier
pofte à la perte faite au troifieme.
Cependant, dira- t- on , les nombres 5 5 1,
431 , 311 trouvez par cette méthode ,
fatisfont à toutes les conditions du problême
? cela eft vrai ; mais c'eſt par hazard .
Un nombre qui fatisfait à certaines conditions
demandées a encore la propriété de
fatisfaire à beaucoup d'autres qu'on ne lui
demande pas.
D'ailleurs pour fe convaincre
que c'eſt par hazard qu'ils fatisfont à
4
4
JUILLET . 1753 111
cette derniere condition : on n'a qu'à réfoudre
le problême comme s'il étoit énoncé
fans cette même condition , & alors la
queftion qui fera effectivement indéterminée
aura pour les nombres les plus fimples
qui rempliffent les conditions , les
mêmes nombres 551 , 431 , 311 .
que Je ne crois pas non plus qu'on dife
le rapport de la perte faite au premier
pofte à la perte faire au fecond , détermine
ces deux chofes ; 1º. le rapport ddee llaa perte
faite au premier pofte à la perte faite au
troifieme ; 2 °. que la perte faite à ce troifieme
pofte foit le tiers du nombre des
troupes qu'on y avoit envoyées : le problême
dans ce cas feroit à la vérité indéterminé
, & on auroit eu raifon de fousentendre
la derniere condition , parce
qu'elle auroit été renfermée dans la précédente
; mais c'eft ce qu'on ne voit point
& qu'on ne peut voir , car les équations
que fourniffent ces deux conditions , font
très- différentes & ne peuvent être conclues
l'une de l'autre.
Il fuit de là 1 ° . qu'abſtraction faite des
nombres 551 , 431 , 311 , tous les autres
qui font annoncés dans le Mercure de
Mai , doivent manquer à la huitieme condition
, & ils y manquent en effet .
2°. Qu'abſtraction faite des mêmes
112 MERCURE DE FRANCE .
nombres $ 51 , &c. tous les autres qu'on
propofe de nouveau , comme trouvés par
la huitieme condition manquent néceffairement
à la feptieme , & ils y manquent
en effet.
Enfin de ce que des deux différentes
manieres qu'on propofe pour trouver x
y , z, la premiere en omettant ainsi qu'il
paroît ) la huitieme condition ; la feconde
en omettant la feptieme condition , il
en réfulte des valeurs différentes ; on en
doit , ce me femble , conclure que les feptieme
& huitieme conditions font trèsdifférentes
entr'elles ; qu'elles doivent par
conféquent fournir chacune une équation
& déterminer le problême , ainfi que je
l'ai avancé .
Nous donnerons le Mercure prochain
la réponſe de M. G. dans laquelle il a la
noble franchife de convenir qu'il s'ekt
trompé, & que fon problême eft en effet
déterminé comme M. Bezout le prétend.
Réfléxions fur la méthode employée par M.
G.... Ecuyer , Officier de Madame la
Dauphine & de la Société littéraire de
Senlis , pour réfoudre le problême qu'il a
propofe dans le Mercure du mois de Mai
dernier. Par M. Bezout , Maître de
Mathématiques.
'Ai avancé & fuffifamment démontré
J'dans le Mercure de Juin dernier , que
les nombres 551 , 431 , 311 étoient les
feuls qui fatisfaifoient à toutes les conditions
du problême , & les raifonnemens
fur lefquels j'ai appuyé mon affertion ont
pû donner à connoître que la forme indéterminée
que donnoit M. G. à la folution
du problême , ne pouvoit venir que de ce
qu'il auroit fous-entendu ( par quelque
caufe que ce puiffe être ) l'expreffion de
quelques - unes des conditions du problême .
C'est l'opinion dans laquelle j'ai toujours
été & dans laquelle j'ai été confirmé en
110 MERCURE DE FRANCE.
donnant à u quelques valeurs dans les expreffions
de x, y , z qu'a données M. G.
& en dernier lieu par la lecture de fa méthode
.
M. G. après avoir rappellé les 6 , 7 & -
8 conditions de fon énoncé , pourfuit en
difant , l'on fera donc pour remplir les 7 &
buitieme conditions cette analogie , & c . 140 :
61 ::
x + 9
210p -1059 +7
7
-4 y
7
420 p- 3369-
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; au moyen de cette analogie
, il réduit à une feule u les deux indéterminées
p & q , & transforme les valeurs
préparées de x , y , z en celles qu'il
avoit annoncées .
Mais la folution eft - elle achevée ? toutes
les conditions du problême ont-elles été
parcourues & exprimées ? Il me femble
que non ; car je ne vois aucune expreffion
du rapport de la perte faire au premier
pofte à la perte faite au troifieme.
Cependant, dira- t- on , les nombres 5 5 1,
431 , 311 trouvez par cette méthode ,
fatisfont à toutes les conditions du problême
? cela eft vrai ; mais c'eſt par hazard .
Un nombre qui fatisfait à certaines conditions
demandées a encore la propriété de
fatisfaire à beaucoup d'autres qu'on ne lui
demande pas.
D'ailleurs pour fe convaincre
que c'eſt par hazard qu'ils fatisfont à
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JUILLET . 1753 111
cette derniere condition : on n'a qu'à réfoudre
le problême comme s'il étoit énoncé
fans cette même condition , & alors la
queftion qui fera effectivement indéterminée
aura pour les nombres les plus fimples
qui rempliffent les conditions , les
mêmes nombres 551 , 431 , 311 .
que Je ne crois pas non plus qu'on dife
le rapport de la perte faite au premier
pofte à la perte faire au fecond , détermine
ces deux chofes ; 1º. le rapport ddee llaa perte
faite au premier pofte à la perte faite au
troifieme ; 2 °. que la perte faite à ce troifieme
pofte foit le tiers du nombre des
troupes qu'on y avoit envoyées : le problême
dans ce cas feroit à la vérité indéterminé
, & on auroit eu raifon de fousentendre
la derniere condition , parce
qu'elle auroit été renfermée dans la précédente
; mais c'eft ce qu'on ne voit point
& qu'on ne peut voir , car les équations
que fourniffent ces deux conditions , font
très- différentes & ne peuvent être conclues
l'une de l'autre.
Il fuit de là 1 ° . qu'abſtraction faite des
nombres 551 , 431 , 311 , tous les autres
qui font annoncés dans le Mercure de
Mai , doivent manquer à la huitieme condition
, & ils y manquent en effet .
2°. Qu'abſtraction faite des mêmes
112 MERCURE DE FRANCE .
nombres $ 51 , &c. tous les autres qu'on
propofe de nouveau , comme trouvés par
la huitieme condition manquent néceffairement
à la feptieme , & ils y manquent
en effet.
Enfin de ce que des deux différentes
manieres qu'on propofe pour trouver x
y , z, la premiere en omettant ainsi qu'il
paroît ) la huitieme condition ; la feconde
en omettant la feptieme condition , il
en réfulte des valeurs différentes ; on en
doit , ce me femble , conclure que les feptieme
& huitieme conditions font trèsdifférentes
entr'elles ; qu'elles doivent par
conféquent fournir chacune une équation
& déterminer le problême , ainfi que je
l'ai avancé .
Nous donnerons le Mercure prochain
la réponſe de M. G. dans laquelle il a la
noble franchife de convenir qu'il s'ekt
trompé, & que fon problême eft en effet
déterminé comme M. Bezout le prétend.
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Résumé : Réflexions sur la méthode employée par M. G.... Ecuyer, Officier de Madame la Dauphine & de la Société littéraire de Senlis, pour résoudre le problême qu'il a proposé dans le Mercure du mois de Mai dernier. Par M. Bezout, Maître de Mathématiques.
Le texte relate une controverse mathématique entre M. Bezout et M. G. concernant la résolution d'un problème d'algèbre. M. Bezout affirme que les nombres 551, 431 et 311 sont les seuls à satisfaire toutes les conditions du problème posé par M. G. dans le Mercure de mai. Il critique la méthode de M. G., estimant que ce dernier a mal interprété certaines conditions, ce qui a conduit à une forme indéterminée de la solution. M. Bezout souligne que, bien que les nombres trouvés par M. G. satisfassent les conditions, c'est par hasard. Il explique que ces nombres satisfont également d'autres conditions non demandées. Il ajoute que la méthode de M. G. omet certaines conditions essentielles, comme le rapport entre les pertes aux différents postes. M. Bezout conclut que les septième et huitième conditions sont distinctes et doivent chacune fournir une équation pour déterminer le problème. Il annonce que M. G. reconnaîtra son erreur dans le prochain Mercure, admettant que le problème est déterminé comme le prétend M. Bezout.
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