Essais et recherches de mathematique et de physique. Nouvelle Edition augmentée d'un troisième volume, & d'un tiers au moins en chacun des deux premiers... Par M. Parent,...

Nouvelle preuve de lA Multiplication,
e nouvelle
maniéré de faire la D/i;/-
sion,plus courtequ'aucune
qui ait paruë jusques ici.
LEs auteurs'quiont parlé
de la preuve de la Multiplication
par ( 9 ) ont eu raison
de la traiter de défectueuse,
en ce qu'elle peut paroître
bonne, quoique la Multiplication
soit fausse
: mais
t il me paroîtqu'ils nont pû
la regarder comme une
preuve moralement bonne;
puis qu'à l'égard d'un calculateur,
qui de deux Multiplicationns
qu'il feroit,
commettroit toujours une
faute en une des deux, la
preuve de 9 devroit de 32,
coups contre 1 paroître bonnc
quoique la Multiplication
fùt fausse: ce qui est
bien éloigné d'être moralement
bonne;car dans ceux
qui ne calculent pas souvent
il en est peu qui ne
fassent une faute en 1 o
coups.Or à l'égard de ceuxlà,
la preuve de 9 doit être
fallacieuse de 160 coups contre
,parce que pour que
cette preuve devienne
fallacieuse,
il faut dans la même
Multiplication faire une
seconde faute qui releve la
premiere ; & pour cela il
faut 20 coups par la supposition,
& en chaque coup
il y a neuf chiffres à poser,
dont il n'yen a qu'un qui
doive faire la compensation,
contre huit qui ne la
feront pas; ce qui fait huit
fois
,
2.0 coups,ou160contre
un : ce qui ne peut point
encore établir une preuve
morale. Pour rendre donc
cette preuve plus fidelle du
double, en forte qu'il faille
3 2o coups contre un, moralement
parlant, pour qu'-
elle puisse paroîtreinfidelle,
je me sers de la preuve de
11 en cette forte.
Soit le nombre (73904) à
multiplier par ( 50871 ) la
multiplication étant faite,
je trouve. pour produit (3759570384. ) Or pour m'as
furer par la preuve de 9 que
ce produit est le veritable,
tout le monde sçait qu'il
faut faire une somme des
chiffres de chacun de ces
trois nombres, rejettant 9
toujours dés qu'on y arrive,
ou qu'on passe 9 ; ce qui
donne trois restes,sçavoir
5 pour le premier, 5 pour
le second
,
& 6 pour le troisiéme.
Je multiplie donc les
deux premiers restes, 5 &
3, l'un par l'autre j ce qui
donne 15 :
d'où ôtant 9, il
reste 6, qu'on appelle la
preuve des produifans. Or
cette preuve est égale au ref.
te 6 du produit 3759570384, (qu'on appelle aussi la preuve
du produit)comme elle
le doit toujours être lorsque
laMultiplicationest bonne
comme ici : mais il se pourroit
faire, sans grand miracle,
quela Multiplication
étant fausse, ces deux preuves
du produisant &du produit
feroient cependant
égales; comme il nveft arrivea
moy-même, la premiere
fois que j'ai voulu en
faire épreuve. C'est pourquoy
je fais encore la preuve
par 11, & pour cela je
tranche tous les chiffres des
lieux pairs, tant des multiplicateurs
que du produit
*
en commençant à droite,
&je mets en leur place leur
différence à n. Ainsi en
73904 je tranche le 3, & je
mets un 8 en la place, ou
au-dessus;en50871 jetranche
7y & je mets 4 en la
place & en 3759570 84 je
tranche 8,5,5,3,& je mets
3,6,6j8 en leur place. Ce
preparatif étant fait, j'achève
la preuve par 11, comme
par 9, ajoûtant tous les
chiffres des trois nombres
préparez, (78904) (50841)
( 8769670334 ) & rejettant
toujours II,àchaque fois
qu'il vient 11 ou plus
y ce
qui donne pour les restes
des deux premiers 6&7;
pour le reste ou la preuve
,
du dernier (9.) Multipliant
donc lesdeux premiers restes
6, & 7 entr'eux, le produit
est 41 ;
d'où ôtant tous
les II, il reste 9 pour la
preuve des produisans, laquelle
est aussi égale à celle
du produit, commeelle le
doit, puisque la Multiplication
est juste;&je dis que
la certitude de sa bonté est
précisément double de ce
qu'elle seroit, si je ntavois.
fait que la regle de 9, c'est
à dire moralement de 310
coups contre un..
Maintenant, pour la demonstration
de ces deux
preuves, il ne faut que considerer
que quand on ôte,
de quelque nombre de dixaines
que ce soit, comme
de 80,les 9, autant qu'on
le peut, leleste est le chiffre
8, même de 80-r parce
qu'otant9 de 10,le resteest
de 1. De même ôtant tous
les 9 r
de quelque nombre
de centaines que ce soit,
comme de 700, le reste est
le y, même de 700 ; parce
qu'ôtant tous les 9 de ioo,
(ou 99 ) le refle est 1. On
trouve la même chose en
ôtant tous les 9 desnombres
de looo>de lOOOO, de
100000, &c. comme de
2.000, de 3oooo,de 400000,
&c. C'est précisément la
même chose pour 11 que
pour 9, à l'égard des lieux
impairs feulement,sçavoir
des centaines
>
des dix mil ,
des millions, &c. comme
de 400 y
de 5°000, de
éoooooo, à cause que ( 99)
( 9999 ) C99|999) fone auÍfltbien
des multiples de Il
que de 9,comme on peut
le voir aisémentendivisànt
ces nombres par 11.
Maisà
l'égard des lieux pairs qui
contiennent les centaines,
les 10000, les 100000, &c.
lorsqu'on en ôte tous les
11 »
il reste la différence de
leurs chiffres à II. Ainsi
ocanc les u de 30, il reste8
y qui est la différence de 11
au chiffre
5
de 50,& cela à
cause que II surpasse 10 de
i ; car il fuit de là que 3$
doit surpasser30 de 3, &
que par consequent 30 doit
surpasser 22 de 8 : difference
dde Il a y DDe mAême"ôtant,
tous les ir de 4000, il reste
7, qui êlt la difference de
JI à 4, chiffre de 4000, &
cela à cause que r001 qui
est un multiple de II, surpasse
1000 de
1 :
d'où il suit
que 1ooo doit surpasser un
multiple de
1 r, de la différence
de II. à I ,
& de même
des autres lieux pairs
lOOOOO', 10000000, &c.
qui sont toujours suivis immédiatement
des multiples
de r1 ; ravoir
, icoooi 10000001, &c. comme on
peut aisément le voir en divisant
ces nombres par 11.
Il fuit de là que pour avoir
le reste des dixaines, des
IOOOJ des ioooco, &c.apres
en avoir ôté tous les JI,
comme par exemple le reste
de 70, de 80, de 3000,
de 500000 ,
de 50000000,
de 3000000000, (qui sont
renfermez dans les trois
nombres de la question) il
faut ôter tous les chiffres,
7, 8>3> 5,& mettre en
leur place leur différence à
II; sçavoir 4,3,8,6, com-
- me nous avons fait dans la
pratique ci-dessus. A l'égard
des zéro, il est inutile
d'yavoir égard, parce que ç'est.limême qui est leur
différence à II, & qu'il faut
rejetter II dans l'addition
de tous les chiffres, comme
on l'a dit. Donc aprés
cette correction, la somme
de tous les chiffres de chaque
nombre proposé fera
(on reste, après en avoir
ôtè tous les 115 de même
qu'après en avoir ôtétous
les 9, puisque le premier
chiffre à droite peut toûjours
eêrtrree regardeé comme
un reste , étant toujours
moindre que II, & au plus
9. On doit donc regarder
chacun des trois nombres
proposez (apres le préparatiffait
pour II ) comme une
somme de 9 ou de II, plus
un reste,lequel reste soit la
somme de ses c hiffres,aprés
avoir ôté de cette somme
tous les 9 ou tous les II. On
a donc pour les deux multiplicateurs
une somme de
9 ou de II, plus un reste,
5 ou 6 à multiplier par une
somme de 9 ou de II ,
plus
un reste, 3 ou7 ; ce qui
doit donner trois especes de
produits; sçavoir, celui du
premier reste par le second,
c'est à dire de 5 par 3, qui
est 15 ; ou de 6 par 7, qui
est 42. Ensuite le produit de
la premiere somme de 9 ou
de II par 3 ou 7, & reciproquement
celui de 5 ou
6 par la seconde somme de
9 ou de fI; & pour la troisième
espece le produit de
la premiere somme par la
feconde. Or ces trois derniers
produits ne sonttoûjours
que des sommes de 9
ou de II, comme il est évident.
dent. Donc tous les 9 ou
tous les
11 étant rejettez du
produit proposé 3759570384,
il ne reste que le produit 15.
ou 41 des restes 5 & 3ou
6 & 7 ;c'est pourquoy si
l'on ôte encore de ces deux
produits tous les 9 ou tous
les 11, il restera la même
chose, que si l'on avoit ôté
du produit 3759570384 tous
les 9 ou tous les 11 ) autant
de fois qu'il est possible;
sçavoir, 6 ou 9. Or prenant
la somme des chiffres
( 3759, &C. ) corrigez pour
il en rejettant toujours9
ou ii, on trouve les mêmes
restes 6 ou 9. De mêmeprenant
lasomme des chiffres
des produifans
,
corrigez
pour 11, en rejettant toujours
les 9 ou les II,on trouve
les reltes 5 ôc 3,ou 6 &-
7, comme on l'a démontré
ci- dessus. Donc la preuve
des produifansdoit être é.-
gale à celle du produit'
quand laMultiplication est;
bonne.
Il est maintenant évident
que si les deux fautesqu'oa
sùppose avoir faites tombent
sur des lieux pairs tour
tesdeux,outoutes deux sur
des lieux impairs, savoir
l'une en plus, & l'autre en
moins,(comme la preuve
le demande pour faire compensation
) on aura auni
compensation dans la preuve
deII. A l'égard des lieux:
pairs , la chose est toute
ciaire ; & pour les impairs,
il ne faut que considerer
que la faute en plus deviendra
une faute en mOIns, ôc
celle en moins une en plus,
après le preparatif fait; le
tout comme la compensa.
don le demande:mais la
secondè faute peut tomber
sur un lieu de diiïërenieeîL
pece,du lieu de la premiere
aussitôt que sur un lieu de
mêmeespece,c'est à dire:
sur un impair , quand la.
premiere tombe sur un
pair, ou tout au contraire.
Alors aprés la correction
faire , les deux fautes seroient
toutes deux en plus,,
ou toutes deux en moins;
ce qui ne produiroit pas de
compensation seroitparoître
la preuve fausse, de
même que la Multiplication.
Ce qui demande evidemment
deux fois plus de
coups pour faire paroîtrela
preuve de 11 fallacieuse,
comprise celle de 9, que
pour celle de 9 ou de Il toute
feule
y
& ce qui par con.
sequens affure la certitude
de ces deux preuves du double
de ce qu'elleest,lors.
qu'elles sont separées..
Ceci servira pour nousacquitter
de la promesse
que nous avons faite sur la
preuve de (9) dans le sécond
tome de nos Recherc
hes ou Essais
)
première
édition.

Le texte expose une nouvelle méthode pour vérifier la validité d'une multiplication en utilisant les preuves de 9 et de 11. Les auteurs précédents ont critiqué la preuve de 9 pour sa fiabilité, car elle peut sembler correcte même si la multiplication est fausse. La preuve de 9 est jugée moralement insuffisante, surtout pour ceux qui ne calculent pas fréquemment, car elle peut donner une impression de justesse même en cas d'erreur. Pour améliorer la fiabilité, l'auteur propose d'utiliser la preuve de 11 en complément de celle de 9. Il illustre cette méthode avec un exemple de multiplication : 73904 multiplié par 50871, donnant le produit 3759570384. La preuve de 9 consiste à sommer les chiffres de chaque nombre, en rejetant les multiples de 9, et à vérifier que les restes des multiplicateurs et du produit sont égaux. Cependant, cette méthode peut être trompeuse. L'auteur introduit donc la preuve de 11, qui consiste à tronquer les chiffres des lieux pairs et à remplacer chaque chiffre par sa différence avec 11. Ensuite, il somme les chiffres des trois nombres ainsi modifiés et rejette les multiples de 11. La preuve de 11 permet de doubler la certitude de la preuve de 9, car elle nécessite deux fois plus de fautes pour apparaître fausse. Le texte conclut en expliquant que la preuve de 11 est particulièrement utile pour détecter les erreurs dans les lieux pairs et impairs, et qu'elle assure une vérification plus fiable de la multiplication.

Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.

Nouvelle mortiere Je diviser,
composéedel'Italienne
&delaFrançoise..
Ce n'est pas sans raiÍÕnt
cib'un, auteur moderne des
plus célébrés en Arithmétique
a nommé la Division
l'épine de l'Arithmétique,
puis qu'elle en contient
presque seule toute la difficulté,
c'efl à dire les trois
plus difficiles opérations; savoir,
une Division,une Multiplicarion,
&uneSouftraction,
réitérées pluficurs fois
tout de fuite. C'est pour
cela qu'on doit s'appliquer
à la simplifier autant qu'il
est possible, pour la commodité
des commençans,
Nous en proposons, ici
une ,
qui etant compofee*
de la Division Françoise
& de l'Italienne, comme
des deux plus abrégées,
évite cependant les emprunts
frequens & réitérez
de la premiere, & les
longues répétitionsdu Diviseur
de la derniere.
-.
Soit pour cet effet le
nombre (9807950450 ) a
QOOO0.0 2450 1.5
1
735Q.4
7 3 5.0 o0073.5
- 9307.9 49Q0.3
20OI50
diviser par
le nombre
(49003)j'écris
d'abord
le diviseur
49003,&au
dessus le dividens
9807950450>en forte
que les premiers chiffresde
ce dernier 980, &c. contiennent
les premiers 49 y
&c. du diviseur. Et s'il y
avoit, par exemple,ig dansles
deux premiers chiffres,
du dividensyau lieu de 98V
fécrirois le 8 sur le 4 du diviseur
y
ôc le 2.
de 28 plus
avancé
avancé d'une place vers la
gauche, & le reste comme
dans la Division ordinaire.
A l'égard du reste du dividens
de (50450) donc il
déborde le diviseur vers la
droite, je récris au- dessus
des derniers chiffres 9 & 5
du dividcns ou du diviseur
en ligne perpendiculaire,
comme on le voit en l'exemple
cy joint. Divisant
donc 9 par 4 à l'ordinaire,
il vient pour quotient 1,
que j'écris fous une barre
au-dessous de 4. Je fais enfuite
la preuve à. l'Italienne,
en disant [2 fois 3 font 6.
que j'ôte de 9 qui est audessus,
il reste 3 ] que j'écris
sur le reste du dividens,
audevant de 5. Ensuite [2
fois zero ne font rien, que
j'ôte de 7, il reste 7 ]quej'écris
sur le zero du dividens,
devant le dernier 3. Ensuite
encore [ z fois rien ne font
rien]que j'écris devant le
7 au-dessus du 8. Puis [ z
fois 9 font 18 , que j'ôte de
18 ,
le reste est zéro] que
j'écris sur le 9 du dividens,
retenant l'emprunt 1. Enfin
[ 1 fois 4 font 8,de1 que je
retiens font 9, que j'ôte du
9 du dividens, le reste est
encore zéro] que j'écris audevant
du dernier zero sur
le même alignement.
Ainsi mon restetotal,
ou nouveau dividens est
( 000735) que je separe du
premier par une barre. Je
continuë donc ma Division.
en disant [4en zero,le
quotient est zéro,que j'écris
fous la barre à côté du
i ; & multipliant le diviseur
49003 par zéro, le produit
est zero) qui étant ore de
735) ilreste 735, quej'écris
au- dessus du dividens
000735 au-devant du zero,
& c'est le troisiéme dividens
, lequel étant encore
divisé par 4, le quotient est
encore zero; & le produit
de 49005 par ce zero étant
encore ôté de 7350,le reste
est 7550, que j'écris au-des
fus
J
au-devant du 4 :
ainsi
le quatriémedividens est
73504, lequel étant aussi divisé
par 4, le quotient est 1,
que j'écris sous la barre aprés
le 1 ôc les deux zéro;
& multipliant49003 par cet
1, en commençantparle
dernier chiffre3,&le produit
étant ôté de 73 504, en
commençant par le dernier
chiffre, 4,il reste 14501, que
j'écris au-dessous de 73504,
au-devant du 5, pour avoir
le 5e dividens, 145015. Enfin
divisant245015 par 4,1e quo.
tient est 5, que j'écris fous la
barre après 1; & multipliant
49003 par ce 5,le produit est
145015 ,
qui étant ôté de
2,4^015,le reste est zero, que
j'écris audessus de 14501, audevant
du zero du premier
dividens. Enfin divisant ce
reste zéro ou dernier dividens
par 4, le quotient est
zero, quejécris à la fuite
despremierschiffres du diviseur
: & comme je fuis arrivé
à un dividens(000000)
dont le dernier chiffre zéro
du dividens proposé,
9807950450, fait partie,je
conclus que la Division est
finie, Ce que le quotient
cherché est ( 100150 ).& k
reste de la Divisionzéro,
Il faut faire de mêmeà pro.
portion pour tous les autres
exemples que l'on peut proposer;
ce qu'il n'est pas poffi- le de faire ici dans un plus
grand détail.

Le texte expose une méthode de division combinant les techniques italiennes et françaises pour simplifier les opérations arithmétiques. La division est considérée comme l'opération la plus complexe en arithmétique, impliquant des répétitions de division, multiplication et soustraction. La méthode proposée vise à réduire les emprunts fréquents et les répétitions longues en utilisant les techniques les plus abrégées. Pour illustrer cette méthode, le texte présente un exemple de division du nombre 9807950450 par 49003. Le processus commence par l'alignement du diviseur et du dividende. Ensuite, des opérations de division, multiplication et soustraction sont effectuées de manière itérative. Chaque étape est détaillée, montrant comment les quotients et les restes sont calculés et écrits. Le texte conclut que la division est terminée lorsque le dividende devient zéro. Le quotient recherché est 100150, avec un reste de zéro. Cette méthode peut être appliquée à d'autres exemples de division de manière similaire.

Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.