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1
p. 49-69
Nouvelle preuve de la Multiplication, et nouvelle maniere de faire la Division, plus courte qu'aucune qui ait paruë jusques ici.
Début :
Les auteurs qui ont parlé de la preuve de la Multiplication [...]
Mots clefs :
Preuve, Produit, Somme, Chiffres, Multiplication, Compensation, Tranche, Double
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texteReconnaissance textuelle : Nouvelle preuve de la Multiplication, et nouvelle maniere de faire la Division, plus courte qu'aucune qui ait paruë jusques ici.
Nouvelle preuve de lA Multiplication,
e nouvelle
maniéré de faire la D/i;/-
sion,plus courtequ'aucune
qui ait paruë jusques ici.
LEs auteurs'quiont parlé
de la preuve de la Multiplication
par ( 9 ) ont eu raison
de la traiter de défectueuse,
en ce qu'elle peut paroître
bonne, quoique la Multiplication
soit fausse
: mais
t il me paroîtqu'ils nont pû
la regarder comme une
preuve moralement bonne;
puis qu'à l'égard d'un calculateur,
qui de deux Multiplicationns
qu'il feroit,
commettroit toujours une
faute en une des deux, la
preuve de 9 devroit de 32,
coups contre 1 paroître bonnc
quoique la Multiplication
fùt fausse: ce qui est
bien éloigné d'être moralement
bonne;car dans ceux
qui ne calculent pas souvent
il en est peu qui ne
fassent une faute en 1 o
coups.Or à l'égard de ceuxlà,
la preuve de 9 doit être
fallacieuse de 160 coups contre
,parce que pour que
cette preuve devienne
fallacieuse,
il faut dans la même
Multiplication faire une
seconde faute qui releve la
premiere ; & pour cela il
faut 20 coups par la supposition,
& en chaque coup
il y a neuf chiffres à poser,
dont il n'yen a qu'un qui
doive faire la compensation,
contre huit qui ne la
feront pas; ce qui fait huit
fois
,
2.0 coups,ou160contre
un : ce qui ne peut point
encore établir une preuve
morale. Pour rendre donc
cette preuve plus fidelle du
double, en forte qu'il faille
3 2o coups contre un, moralement
parlant, pour qu'-
elle puisse paroîtreinfidelle,
je me sers de la preuve de
11 en cette forte.
Soit le nombre (73904) à
multiplier par ( 50871 ) la
multiplication étant faite,
je trouve. pour produit (3759570384. ) Or pour m'as
furer par la preuve de 9 que
ce produit est le veritable,
tout le monde sçait qu'il
faut faire une somme des
chiffres de chacun de ces
trois nombres, rejettant 9
toujours dés qu'on y arrive,
ou qu'on passe 9 ; ce qui
donne trois restes,sçavoir
5 pour le premier, 5 pour
le second
,
& 6 pour le troisiéme.
Je multiplie donc les
deux premiers restes, 5 &
3, l'un par l'autre j ce qui
donne 15 :
d'où ôtant 9, il
reste 6, qu'on appelle la
preuve des produifans. Or
cette preuve est égale au ref.
te 6 du produit 3759570384, (qu'on appelle aussi la preuve
du produit)comme elle
le doit toujours être lorsque
laMultiplicationest bonne
comme ici : mais il se pourroit
faire, sans grand miracle,
quela Multiplication
étant fausse, ces deux preuves
du produisant &du produit
feroient cependant
égales; comme il nveft arrivea
moy-même, la premiere
fois que j'ai voulu en
faire épreuve. C'est pourquoy
je fais encore la preuve
par 11, & pour cela je
tranche tous les chiffres des
lieux pairs, tant des multiplicateurs
que du produit
*
en commençant à droite,
&je mets en leur place leur
différence à n. Ainsi en
73904 je tranche le 3, & je
mets un 8 en la place, ou
au-dessus;en50871 jetranche
7y & je mets 4 en la
place & en 3759570 84 je
tranche 8,5,5,3,& je mets
3,6,6j8 en leur place. Ce
preparatif étant fait, j'achève
la preuve par 11, comme
par 9, ajoûtant tous les
chiffres des trois nombres
préparez, (78904) (50841)
( 8769670334 ) & rejettant
toujours II,àchaque fois
qu'il vient 11 ou plus
y ce
qui donne pour les restes
des deux premiers 6&7;
pour le reste ou la preuve
,
du dernier (9.) Multipliant
donc lesdeux premiers restes
6, & 7 entr'eux, le produit
est 41 ;
d'où ôtant tous
les II, il reste 9 pour la
preuve des produisans, laquelle
est aussi égale à celle
du produit, commeelle le
doit, puisque la Multiplication
est juste;&je dis que
la certitude de sa bonté est
précisément double de ce
qu'elle seroit, si je ntavois.
fait que la regle de 9, c'est
à dire moralement de 310
coups contre un..
Maintenant, pour la demonstration
de ces deux
preuves, il ne faut que considerer
que quand on ôte,
de quelque nombre de dixaines
que ce soit, comme
de 80,les 9, autant qu'on
le peut, leleste est le chiffre
8, même de 80-r parce
qu'otant9 de 10,le resteest
de 1. De même ôtant tous
les 9 r
de quelque nombre
de centaines que ce soit,
comme de 700, le reste est
le y, même de 700 ; parce
qu'ôtant tous les 9 de ioo,
(ou 99 ) le refle est 1. On
trouve la même chose en
ôtant tous les 9 desnombres
de looo>de lOOOO, de
100000, &c. comme de
2.000, de 3oooo,de 400000,
&c. C'est précisément la
même chose pour 11 que
pour 9, à l'égard des lieux
impairs feulement,sçavoir
des centaines
>
des dix mil ,
des millions, &c. comme
de 400 y
de 5°000, de
éoooooo, à cause que ( 99)
( 9999 ) C99|999) fone auÍfltbien
des multiples de Il
que de 9,comme on peut
le voir aisémentendivisànt
ces nombres par 11.
Maisà
l'égard des lieux pairs qui
contiennent les centaines,
les 10000, les 100000, &c.
lorsqu'on en ôte tous les
11 »
il reste la différence de
leurs chiffres à II. Ainsi
ocanc les u de 30, il reste8
y qui est la différence de 11
au chiffre
5
de 50,& cela à
cause que II surpasse 10 de
i ; car il fuit de là que 3$
doit surpasser30 de 3, &
que par consequent 30 doit
surpasser 22 de 8 : difference
dde Il a y DDe mAême"ôtant,
tous les ir de 4000, il reste
7, qui êlt la difference de
JI à 4, chiffre de 4000, &
cela à cause que r001 qui
est un multiple de II, surpasse
1000 de
1 :
d'où il suit
que 1ooo doit surpasser un
multiple de
1 r, de la différence
de II. à I ,
& de même
des autres lieux pairs
lOOOOO', 10000000, &c.
qui sont toujours suivis immédiatement
des multiples
de r1 ; ravoir
, icoooi 10000001, &c. comme on
peut aisément le voir en divisant
ces nombres par 11.
Il fuit de là que pour avoir
le reste des dixaines, des
IOOOJ des ioooco, &c.apres
en avoir ôté tous les JI,
comme par exemple le reste
de 70, de 80, de 3000,
de 500000 ,
de 50000000,
de 3000000000, (qui sont
renfermez dans les trois
nombres de la question) il
faut ôter tous les chiffres,
7, 8>3> 5,& mettre en
leur place leur différence à
II; sçavoir 4,3,8,6, com-
- me nous avons fait dans la
pratique ci-dessus. A l'égard
des zéro, il est inutile
d'yavoir égard, parce que ç'est.limême qui est leur
différence à II, & qu'il faut
rejetter II dans l'addition
de tous les chiffres, comme
on l'a dit. Donc aprés
cette correction, la somme
de tous les chiffres de chaque
nombre proposé fera
(on reste, après en avoir
ôtè tous les 115 de même
qu'après en avoir ôtétous
les 9, puisque le premier
chiffre à droite peut toûjours
eêrtrree regardeé comme
un reste , étant toujours
moindre que II, & au plus
9. On doit donc regarder
chacun des trois nombres
proposez (apres le préparatiffait
pour II ) comme une
somme de 9 ou de II, plus
un reste,lequel reste soit la
somme de ses c hiffres,aprés
avoir ôté de cette somme
tous les 9 ou tous les II. On
a donc pour les deux multiplicateurs
une somme de
9 ou de II, plus un reste,
5 ou 6 à multiplier par une
somme de 9 ou de II ,
plus
un reste, 3 ou7 ; ce qui
doit donner trois especes de
produits; sçavoir, celui du
premier reste par le second,
c'est à dire de 5 par 3, qui
est 15 ; ou de 6 par 7, qui
est 42. Ensuite le produit de
la premiere somme de 9 ou
de II par 3 ou 7, & reciproquement
celui de 5 ou
6 par la seconde somme de
9 ou de fI; & pour la troisième
espece le produit de
la premiere somme par la
feconde. Or ces trois derniers
produits ne sonttoûjours
que des sommes de 9
ou de II, comme il est évident.
dent. Donc tous les 9 ou
tous les
11 étant rejettez du
produit proposé 3759570384,
il ne reste que le produit 15.
ou 41 des restes 5 & 3ou
6 & 7 ;c'est pourquoy si
l'on ôte encore de ces deux
produits tous les 9 ou tous
les 11, il restera la même
chose, que si l'on avoit ôté
du produit 3759570384 tous
les 9 ou tous les 11 ) autant
de fois qu'il est possible;
sçavoir, 6 ou 9. Or prenant
la somme des chiffres
( 3759, &C. ) corrigez pour
il en rejettant toujours9
ou ii, on trouve les mêmes
restes 6 ou 9. De mêmeprenant
lasomme des chiffres
des produifans
,
corrigez
pour 11, en rejettant toujours
les 9 ou les II,on trouve
les reltes 5 ôc 3,ou 6 &-
7, comme on l'a démontré
ci- dessus. Donc la preuve
des produifansdoit être é.-
gale à celle du produit'
quand laMultiplication est;
bonne.
Il est maintenant évident
que si les deux fautesqu'oa
sùppose avoir faites tombent
sur des lieux pairs tour
tesdeux,outoutes deux sur
des lieux impairs, savoir
l'une en plus, & l'autre en
moins,(comme la preuve
le demande pour faire compensation
) on aura auni
compensation dans la preuve
deII. A l'égard des lieux:
pairs , la chose est toute
ciaire ; & pour les impairs,
il ne faut que considerer
que la faute en plus deviendra
une faute en mOIns, ôc
celle en moins une en plus,
après le preparatif fait; le
tout comme la compensa.
don le demande:mais la
secondè faute peut tomber
sur un lieu de diiïërenieeîL
pece,du lieu de la premiere
aussitôt que sur un lieu de
mêmeespece,c'est à dire:
sur un impair , quand la.
premiere tombe sur un
pair, ou tout au contraire.
Alors aprés la correction
faire , les deux fautes seroient
toutes deux en plus,,
ou toutes deux en moins;
ce qui ne produiroit pas de
compensation seroitparoître
la preuve fausse, de
même que la Multiplication.
Ce qui demande evidemment
deux fois plus de
coups pour faire paroîtrela
preuve de 11 fallacieuse,
comprise celle de 9, que
pour celle de 9 ou de Il toute
feule
y
& ce qui par con.
sequens affure la certitude
de ces deux preuves du double
de ce qu'elleest,lors.
qu'elles sont separées..
Ceci servira pour nousacquitter
de la promesse
que nous avons faite sur la
preuve de (9) dans le sécond
tome de nos Recherc
hes ou Essais
)
première
édition.
e nouvelle
maniéré de faire la D/i;/-
sion,plus courtequ'aucune
qui ait paruë jusques ici.
LEs auteurs'quiont parlé
de la preuve de la Multiplication
par ( 9 ) ont eu raison
de la traiter de défectueuse,
en ce qu'elle peut paroître
bonne, quoique la Multiplication
soit fausse
: mais
t il me paroîtqu'ils nont pû
la regarder comme une
preuve moralement bonne;
puis qu'à l'égard d'un calculateur,
qui de deux Multiplicationns
qu'il feroit,
commettroit toujours une
faute en une des deux, la
preuve de 9 devroit de 32,
coups contre 1 paroître bonnc
quoique la Multiplication
fùt fausse: ce qui est
bien éloigné d'être moralement
bonne;car dans ceux
qui ne calculent pas souvent
il en est peu qui ne
fassent une faute en 1 o
coups.Or à l'égard de ceuxlà,
la preuve de 9 doit être
fallacieuse de 160 coups contre
,parce que pour que
cette preuve devienne
fallacieuse,
il faut dans la même
Multiplication faire une
seconde faute qui releve la
premiere ; & pour cela il
faut 20 coups par la supposition,
& en chaque coup
il y a neuf chiffres à poser,
dont il n'yen a qu'un qui
doive faire la compensation,
contre huit qui ne la
feront pas; ce qui fait huit
fois
,
2.0 coups,ou160contre
un : ce qui ne peut point
encore établir une preuve
morale. Pour rendre donc
cette preuve plus fidelle du
double, en forte qu'il faille
3 2o coups contre un, moralement
parlant, pour qu'-
elle puisse paroîtreinfidelle,
je me sers de la preuve de
11 en cette forte.
Soit le nombre (73904) à
multiplier par ( 50871 ) la
multiplication étant faite,
je trouve. pour produit (3759570384. ) Or pour m'as
furer par la preuve de 9 que
ce produit est le veritable,
tout le monde sçait qu'il
faut faire une somme des
chiffres de chacun de ces
trois nombres, rejettant 9
toujours dés qu'on y arrive,
ou qu'on passe 9 ; ce qui
donne trois restes,sçavoir
5 pour le premier, 5 pour
le second
,
& 6 pour le troisiéme.
Je multiplie donc les
deux premiers restes, 5 &
3, l'un par l'autre j ce qui
donne 15 :
d'où ôtant 9, il
reste 6, qu'on appelle la
preuve des produifans. Or
cette preuve est égale au ref.
te 6 du produit 3759570384, (qu'on appelle aussi la preuve
du produit)comme elle
le doit toujours être lorsque
laMultiplicationest bonne
comme ici : mais il se pourroit
faire, sans grand miracle,
quela Multiplication
étant fausse, ces deux preuves
du produisant &du produit
feroient cependant
égales; comme il nveft arrivea
moy-même, la premiere
fois que j'ai voulu en
faire épreuve. C'est pourquoy
je fais encore la preuve
par 11, & pour cela je
tranche tous les chiffres des
lieux pairs, tant des multiplicateurs
que du produit
*
en commençant à droite,
&je mets en leur place leur
différence à n. Ainsi en
73904 je tranche le 3, & je
mets un 8 en la place, ou
au-dessus;en50871 jetranche
7y & je mets 4 en la
place & en 3759570 84 je
tranche 8,5,5,3,& je mets
3,6,6j8 en leur place. Ce
preparatif étant fait, j'achève
la preuve par 11, comme
par 9, ajoûtant tous les
chiffres des trois nombres
préparez, (78904) (50841)
( 8769670334 ) & rejettant
toujours II,àchaque fois
qu'il vient 11 ou plus
y ce
qui donne pour les restes
des deux premiers 6&7;
pour le reste ou la preuve
,
du dernier (9.) Multipliant
donc lesdeux premiers restes
6, & 7 entr'eux, le produit
est 41 ;
d'où ôtant tous
les II, il reste 9 pour la
preuve des produisans, laquelle
est aussi égale à celle
du produit, commeelle le
doit, puisque la Multiplication
est juste;&je dis que
la certitude de sa bonté est
précisément double de ce
qu'elle seroit, si je ntavois.
fait que la regle de 9, c'est
à dire moralement de 310
coups contre un..
Maintenant, pour la demonstration
de ces deux
preuves, il ne faut que considerer
que quand on ôte,
de quelque nombre de dixaines
que ce soit, comme
de 80,les 9, autant qu'on
le peut, leleste est le chiffre
8, même de 80-r parce
qu'otant9 de 10,le resteest
de 1. De même ôtant tous
les 9 r
de quelque nombre
de centaines que ce soit,
comme de 700, le reste est
le y, même de 700 ; parce
qu'ôtant tous les 9 de ioo,
(ou 99 ) le refle est 1. On
trouve la même chose en
ôtant tous les 9 desnombres
de looo>de lOOOO, de
100000, &c. comme de
2.000, de 3oooo,de 400000,
&c. C'est précisément la
même chose pour 11 que
pour 9, à l'égard des lieux
impairs feulement,sçavoir
des centaines
>
des dix mil ,
des millions, &c. comme
de 400 y
de 5°000, de
éoooooo, à cause que ( 99)
( 9999 ) C99|999) fone auÍfltbien
des multiples de Il
que de 9,comme on peut
le voir aisémentendivisànt
ces nombres par 11.
Maisà
l'égard des lieux pairs qui
contiennent les centaines,
les 10000, les 100000, &c.
lorsqu'on en ôte tous les
11 »
il reste la différence de
leurs chiffres à II. Ainsi
ocanc les u de 30, il reste8
y qui est la différence de 11
au chiffre
5
de 50,& cela à
cause que II surpasse 10 de
i ; car il fuit de là que 3$
doit surpasser30 de 3, &
que par consequent 30 doit
surpasser 22 de 8 : difference
dde Il a y DDe mAême"ôtant,
tous les ir de 4000, il reste
7, qui êlt la difference de
JI à 4, chiffre de 4000, &
cela à cause que r001 qui
est un multiple de II, surpasse
1000 de
1 :
d'où il suit
que 1ooo doit surpasser un
multiple de
1 r, de la différence
de II. à I ,
& de même
des autres lieux pairs
lOOOOO', 10000000, &c.
qui sont toujours suivis immédiatement
des multiples
de r1 ; ravoir
, icoooi 10000001, &c. comme on
peut aisément le voir en divisant
ces nombres par 11.
Il fuit de là que pour avoir
le reste des dixaines, des
IOOOJ des ioooco, &c.apres
en avoir ôté tous les JI,
comme par exemple le reste
de 70, de 80, de 3000,
de 500000 ,
de 50000000,
de 3000000000, (qui sont
renfermez dans les trois
nombres de la question) il
faut ôter tous les chiffres,
7, 8>3> 5,& mettre en
leur place leur différence à
II; sçavoir 4,3,8,6, com-
- me nous avons fait dans la
pratique ci-dessus. A l'égard
des zéro, il est inutile
d'yavoir égard, parce que ç'est.limême qui est leur
différence à II, & qu'il faut
rejetter II dans l'addition
de tous les chiffres, comme
on l'a dit. Donc aprés
cette correction, la somme
de tous les chiffres de chaque
nombre proposé fera
(on reste, après en avoir
ôtè tous les 115 de même
qu'après en avoir ôtétous
les 9, puisque le premier
chiffre à droite peut toûjours
eêrtrree regardeé comme
un reste , étant toujours
moindre que II, & au plus
9. On doit donc regarder
chacun des trois nombres
proposez (apres le préparatiffait
pour II ) comme une
somme de 9 ou de II, plus
un reste,lequel reste soit la
somme de ses c hiffres,aprés
avoir ôté de cette somme
tous les 9 ou tous les II. On
a donc pour les deux multiplicateurs
une somme de
9 ou de II, plus un reste,
5 ou 6 à multiplier par une
somme de 9 ou de II ,
plus
un reste, 3 ou7 ; ce qui
doit donner trois especes de
produits; sçavoir, celui du
premier reste par le second,
c'est à dire de 5 par 3, qui
est 15 ; ou de 6 par 7, qui
est 42. Ensuite le produit de
la premiere somme de 9 ou
de II par 3 ou 7, & reciproquement
celui de 5 ou
6 par la seconde somme de
9 ou de fI; & pour la troisième
espece le produit de
la premiere somme par la
feconde. Or ces trois derniers
produits ne sonttoûjours
que des sommes de 9
ou de II, comme il est évident.
dent. Donc tous les 9 ou
tous les
11 étant rejettez du
produit proposé 3759570384,
il ne reste que le produit 15.
ou 41 des restes 5 & 3ou
6 & 7 ;c'est pourquoy si
l'on ôte encore de ces deux
produits tous les 9 ou tous
les 11, il restera la même
chose, que si l'on avoit ôté
du produit 3759570384 tous
les 9 ou tous les 11 ) autant
de fois qu'il est possible;
sçavoir, 6 ou 9. Or prenant
la somme des chiffres
( 3759, &C. ) corrigez pour
il en rejettant toujours9
ou ii, on trouve les mêmes
restes 6 ou 9. De mêmeprenant
lasomme des chiffres
des produifans
,
corrigez
pour 11, en rejettant toujours
les 9 ou les II,on trouve
les reltes 5 ôc 3,ou 6 &-
7, comme on l'a démontré
ci- dessus. Donc la preuve
des produifansdoit être é.-
gale à celle du produit'
quand laMultiplication est;
bonne.
Il est maintenant évident
que si les deux fautesqu'oa
sùppose avoir faites tombent
sur des lieux pairs tour
tesdeux,outoutes deux sur
des lieux impairs, savoir
l'une en plus, & l'autre en
moins,(comme la preuve
le demande pour faire compensation
) on aura auni
compensation dans la preuve
deII. A l'égard des lieux:
pairs , la chose est toute
ciaire ; & pour les impairs,
il ne faut que considerer
que la faute en plus deviendra
une faute en mOIns, ôc
celle en moins une en plus,
après le preparatif fait; le
tout comme la compensa.
don le demande:mais la
secondè faute peut tomber
sur un lieu de diiïërenieeîL
pece,du lieu de la premiere
aussitôt que sur un lieu de
mêmeespece,c'est à dire:
sur un impair , quand la.
premiere tombe sur un
pair, ou tout au contraire.
Alors aprés la correction
faire , les deux fautes seroient
toutes deux en plus,,
ou toutes deux en moins;
ce qui ne produiroit pas de
compensation seroitparoître
la preuve fausse, de
même que la Multiplication.
Ce qui demande evidemment
deux fois plus de
coups pour faire paroîtrela
preuve de 11 fallacieuse,
comprise celle de 9, que
pour celle de 9 ou de Il toute
feule
y
& ce qui par con.
sequens affure la certitude
de ces deux preuves du double
de ce qu'elleest,lors.
qu'elles sont separées..
Ceci servira pour nousacquitter
de la promesse
que nous avons faite sur la
preuve de (9) dans le sécond
tome de nos Recherc
hes ou Essais
)
première
édition.
Fermer
Résumé : Nouvelle preuve de la Multiplication, et nouvelle maniere de faire la Division, plus courte qu'aucune qui ait paruë jusques ici.
Le texte expose une nouvelle méthode pour vérifier la validité d'une multiplication en utilisant les preuves de 9 et de 11. Les auteurs précédents ont critiqué la preuve de 9 pour sa fiabilité, car elle peut sembler correcte même si la multiplication est fausse. La preuve de 9 est jugée moralement insuffisante, surtout pour ceux qui ne calculent pas fréquemment, car elle peut donner une impression de justesse même en cas d'erreur. Pour améliorer la fiabilité, l'auteur propose d'utiliser la preuve de 11 en complément de celle de 9. Il illustre cette méthode avec un exemple de multiplication : 73904 multiplié par 50871, donnant le produit 3759570384. La preuve de 9 consiste à sommer les chiffres de chaque nombre, en rejetant les multiples de 9, et à vérifier que les restes des multiplicateurs et du produit sont égaux. Cependant, cette méthode peut être trompeuse. L'auteur introduit donc la preuve de 11, qui consiste à tronquer les chiffres des lieux pairs et à remplacer chaque chiffre par sa différence avec 11. Ensuite, il somme les chiffres des trois nombres ainsi modifiés et rejette les multiples de 11. La preuve de 11 permet de doubler la certitude de la preuve de 9, car elle nécessite deux fois plus de fautes pour apparaître fausse. Le texte conclut en expliquant que la preuve de 11 est particulièrement utile pour détecter les erreurs dans les lieux pairs et impairs, et qu'elle assure une vérification plus fiable de la multiplication.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
Fermer
2
p. 63-69
Réponse à l'auteur de la critique sur la nouvelle preuve de Multiplication par 11, insérée dans le Mercure de Paris en Septembre 1713. page 112.
Début :
Le memoire en question se trouve dans le Mercure de [...]
Mots clefs :
Critique, Multiplication, Preuve, Mémoire, Arithmétique, Opérations, Savants
Afficher :
texteReconnaissance textuelle : Réponse à l'auteur de la critique sur la nouvelle preuve de Multiplication par 11, insérée dans le Mercure de Paris en Septembre 1713. page 112.
Riponfe à l'auteur de la critiquesur
la nouvelle preuve
de Multiplication par 11,
inferee dans le Mercure de
Paris en Septembre 17i 3.
page m.
* Le memoire en question
se trouve dans le Mercure
de Mars 1713. page 49. L'auteur
de la critique pretend
trois choses
: la premiere,
que l'auteur de la preuve
de Il a eu en vûe de faire
tomber l'ancienne preuve
de 9 ;
la feconde, que la
nouvelle preuve de II cft
beaucoup plus difficile à
pratiquer, que de recommencer
la Multiplication:
la troisiéme,que cette preuve
ne devoir pas être inferée
dans le Mercure de Paris.
Nous allons faire voir
qu'il sest trompé abfolument
sur ces trois chefs
sans pretendre rien rabat-,
tre de sa capacité. Pour être
persuadé qu'il est dans l'er--
reur sur le premier chef,
il ne faut que lire ce que
je dis à la page 101, sur la
preuve de 9. Le voici. (Pour
rendre
rendre donc cette preuve
plus fidelle du double,je
me fers de la preuve de 11j)
& à la page 56. & 57-Ravoir
: (je dis que la certitude
de la preuve est double,
de ce qu'elle feroit, si
je n'avois fait que la preuve
de9}) & encore page 68.
&69. où je dis: (Ce qui demande
deux fois plus de
coups, pour faire paroîtfç
la preuve de nfallacieuse.,
compriiè celle de 9, que
pour celle de 9 ou de11
toute feule.) Ces trois j>a£-
fagesfont plus que suffisans,
pour faire voir que bien
loin de vouloirdetraire la
preuve de 9 par celle de 11, je n',ai au co.ntraire invente,
celle-ci, que pour rétablir
l'usage de celle de 9 :&
cela d'autant plus que je
reconnois que ces deux
ne sçauroient fubfifler l'une
sans l'autre. Voyons maintenant
si nôtre critique est
mieux fondé surlefécond
chef. Pour cet effet il ne
s'agit que d'examiner s'il
est plus court de multiplier
une feconde fois (73904)
par( 50871 ) que de mettre
la preuve de 9 & celle de
II en usage, & sans avoir
égard aux zeros & à l'unité
qui Ce trouvent dans ces
deux nombres, ce qui est
un hazard,considerons que
la multiplication feule de
ces deux nombres demande
déja25. opérations, qu'ensuite l'addition des
cinq produits en demande
encore vingt-cinq autres,
ce qui fait cinquante opérations
en tout, comme
chacun peut le voir en faisant
foy-même la multiplication
de ces deux nombres.
Considerons aussi que
pour faire la preuve de Il
le preparatif sur les lieux
pairs des introduisans&du
produit ne demande que neuf operations, lequel
preparatif étant fait, la
preuve de li. ne demande
au resteque dix opérations
sur les produifans & neuf
sur le produit; de même
quela preuve de 9,ce qui
fait 38 pour lest. qui avec
les 9du prepatatif ne sont
que 47 en tout; c'est à dire3
de moins que la premiere
preuve, à quoy il faut adjoûter
que dans ces 47. operations
,il n'y a que deux
feules multiplications, au
lieu que dans la premiere
preuve ily ena 15 ,ce qui
rend la nouvelle preuve
considerablement plus aisée.
Quant au troisieme
chef,l'auteur de la critique
s'est mis lui-même dans son
tort, en la faisant imprimer
dans le Mercure de Paris,
& non pas dans le Journal
des Sçavans.
la nouvelle preuve
de Multiplication par 11,
inferee dans le Mercure de
Paris en Septembre 17i 3.
page m.
* Le memoire en question
se trouve dans le Mercure
de Mars 1713. page 49. L'auteur
de la critique pretend
trois choses
: la premiere,
que l'auteur de la preuve
de Il a eu en vûe de faire
tomber l'ancienne preuve
de 9 ;
la feconde, que la
nouvelle preuve de II cft
beaucoup plus difficile à
pratiquer, que de recommencer
la Multiplication:
la troisiéme,que cette preuve
ne devoir pas être inferée
dans le Mercure de Paris.
Nous allons faire voir
qu'il sest trompé abfolument
sur ces trois chefs
sans pretendre rien rabat-,
tre de sa capacité. Pour être
persuadé qu'il est dans l'er--
reur sur le premier chef,
il ne faut que lire ce que
je dis à la page 101, sur la
preuve de 9. Le voici. (Pour
rendre
rendre donc cette preuve
plus fidelle du double,je
me fers de la preuve de 11j)
& à la page 56. & 57-Ravoir
: (je dis que la certitude
de la preuve est double,
de ce qu'elle feroit, si
je n'avois fait que la preuve
de9}) & encore page 68.
&69. où je dis: (Ce qui demande
deux fois plus de
coups, pour faire paroîtfç
la preuve de nfallacieuse.,
compriiè celle de 9, que
pour celle de 9 ou de11
toute feule.) Ces trois j>a£-
fagesfont plus que suffisans,
pour faire voir que bien
loin de vouloirdetraire la
preuve de 9 par celle de 11, je n',ai au co.ntraire invente,
celle-ci, que pour rétablir
l'usage de celle de 9 :&
cela d'autant plus que je
reconnois que ces deux
ne sçauroient fubfifler l'une
sans l'autre. Voyons maintenant
si nôtre critique est
mieux fondé surlefécond
chef. Pour cet effet il ne
s'agit que d'examiner s'il
est plus court de multiplier
une feconde fois (73904)
par( 50871 ) que de mettre
la preuve de 9 & celle de
II en usage, & sans avoir
égard aux zeros & à l'unité
qui Ce trouvent dans ces
deux nombres, ce qui est
un hazard,considerons que
la multiplication feule de
ces deux nombres demande
déja25. opérations, qu'ensuite l'addition des
cinq produits en demande
encore vingt-cinq autres,
ce qui fait cinquante opérations
en tout, comme
chacun peut le voir en faisant
foy-même la multiplication
de ces deux nombres.
Considerons aussi que
pour faire la preuve de Il
le preparatif sur les lieux
pairs des introduisans&du
produit ne demande que neuf operations, lequel
preparatif étant fait, la
preuve de li. ne demande
au resteque dix opérations
sur les produifans & neuf
sur le produit; de même
quela preuve de 9,ce qui
fait 38 pour lest. qui avec
les 9du prepatatif ne sont
que 47 en tout; c'est à dire3
de moins que la premiere
preuve, à quoy il faut adjoûter
que dans ces 47. operations
,il n'y a que deux
feules multiplications, au
lieu que dans la premiere
preuve ily ena 15 ,ce qui
rend la nouvelle preuve
considerablement plus aisée.
Quant au troisieme
chef,l'auteur de la critique
s'est mis lui-même dans son
tort, en la faisant imprimer
dans le Mercure de Paris,
& non pas dans le Journal
des Sçavans.
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Résumé : Réponse à l'auteur de la critique sur la nouvelle preuve de Multiplication par 11, insérée dans le Mercure de Paris en Septembre 1713. page 112.
En septembre 1713, une critique publiée dans le Mercure de Paris a contesté une nouvelle preuve de multiplication par 11. La critique avançait trois points : la nouvelle preuve visait à discréditer l'ancienne preuve de 9, elle était plus difficile à pratiquer que la multiplication elle-même, et elle ne devrait pas être publiée dans le Mercure de Paris. L'auteur de la réponse réfute ces critiques en expliquant que la nouvelle preuve de 11 a été conçue pour renforcer l'ancienne preuve de 9, les deux preuves étant complémentaires et nécessaires l'une à l'autre. Il démontre également que la nouvelle preuve est plus efficace et moins complexe que la multiplication directe. Enfin, il souligne que la critique elle-même a été publiée dans le Mercure de France, contredisant ainsi son propre argument.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
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