Mot clef | Mercure de France

LES MERVEILLES des Abeilles> ouanayse du fond des Alveoles, dont leurs Rayonssont composez. ParMrPARENT, I#l? Lufieurs Naturalistes habilles ont admiré la figure exagonale des alveoles ou cellules des mouches à miel; mais il ne me fouvienc pas quaucun ait rien écric sur celle du fond de ces cellules merveilleuses, & sur la maniere donc ellesfont as. semblees& opposées entre elles, quoyque ce (bit peut estre tout ce qu'il y à d'admirable dans cesujet, des figures exagonales pouvant estre forméesnaturellement , & par le seul mouvement descorps, sans presupposeraucune connoissance , comme je l'ayexpliqué dans une autre occasion Mais en examinant la figure du fond de ces Alveoles avec application , on trouve qu'elle renferme toute la perfection que l'esprit hu- main, muni de la plus subtile geometrie peut imaginer. Car elles ont de toutes les figures qu'elles pourroient recevoir la plus reguliere, par consequent la plus belle , & la plus aisée à bastir, & aussi la plus logeable, à moindres frais, ou la plus spatieuse , avec mesme surface, la plus aisée à s'y tourner en tout sens , & en mesme temps la plus solide , quiest tout ce quele plus habile Archirecte pourroit souhaiter. C'est ce qui ma fait penser que te public ne seroit peutestre pas fasché que je luy communiquasse mes re flexions fijr un sujet aussi curieux, & qui semble nous ouvrir une voye à la connoissance de l'ame des bestes; d'autant plus que j'espere l'y faire parvenir par la voye la plus abrégée , laquelle estant exempted'Algèbre, ôc de triangles spheriques, (quim'ont servi à - le developer)lemet à la portée de ceux qui ont les moindres teintures dela geometrie. 2.. Soit donc BSDTFR la base d'un tuyau prifmatique exagonal perpendiculaire à son axe VOI, lequel tuyau represente une des Alvéoles des Abeilles. Spit X le cenrre de cette bafe : soient R A K , BI,SCM,DN,TEP&FQ les six cotiez ou arestes des faces de l'Alveole; qu'on suppose veuë si l'on veut par le dedans,l'œil respondant directement au point V de la bafe qui est entre son centre X & sa circonférence , si l'on prend un point Ofùrl^âxc VOIau dessousde cette bafe, duquel onmene trois plans par les rrois collez BF,BD,DF,dutriangle équilateral inscrit à l'exagone, sçavoir AB O Fqui coupe AFenA; & les deux faces KAFQ, KABL, de l'Alveole enAF&AB; BODC qui coupe CMen Ç9 & les faces~BCML, DCMN en RC , & CD; DOFEqui coupe EPT enE , &les faces NDEP,PEFQ,enDE, EF ; ces trois plans se cou- pant les uns les autres dans les droites OB, OD,OF; le fond de l'Alveole se trouvera fermépartrois rhombesOBAF,ODEF,ODCB, qui feront égaux &semblables en tout, comme il est assez évident;car FB, par exemple , estant le costé' du triangle équilateral inscrit à l'exagone , si l'on mene le rayon XR de , l'exagone qui rencontre BF perpendiculairement: dans son milieu G, & qui est égal au rayon X F; on aura ( à cause de l'angle. XFG de trente degrez) X G égale à la moitié de XF, & par consequent aussi à la moitié de XR; menant donc encore la droite OA, elle rencontrera XRau point G,carelles font toutes deux dans le plan des paralleles VOI, KAR) & ne scauroient avoir que G de commun. On aura donc ( à cause des triangles rectangles semblablesAGR,XGO)l'analogie (QG: GA::XG'• GR. ) Donc G est le milieu des deux droites AO, FB. M Ainsi,) àcause des angles opposezégaux AGF,BGO, & AGB, OGF, ilest évident que les deux triangles AGF, BGO, & AGB,FGO, font parfaitement égaux ; c'est pourquoi AF est parallele &égale à OB,&AB, àFO: doncABOFestun Rhombe, puisque OB & OFsont égales. On prouvera de mesme que ODEF, OBCD font aussi des Rhombes; & d'aiileurs la régularité de la construction fait voir que ces 3. Rhombes font égaux en tout. 3. Il ne s'agit donc plus maintenant, que de trouver quelle doit estrel'inclinaifon des Rhombes B AFO,DEFO,DOBC, sur l'axe VOI,afin que l'Alveole ait toutes les persections dont on a parlé cy-dessus. Pour y parvenir je considerequ'à mesure qu'on prend le point A sur K AR plus proche de K, pour mener les droites AF,AB,( ou ce quiestle mesme , à mesure qu'on prend le point O plus audessous de X pour mener la faceABOF,) l'angle B A F devient moindre que l'angle BRF de 120. degrez , & l'angle F A K ou BAK , plus grand que l'angle droit ARF ou, A RB ; c'est pourquoy on peut prendre ces points A & O à telle distance de R ou X , que les 3. angles autour de A, feront égaux; ce qui est une des conditions proposées à trouver, &laplussimplede toutes: Et l'on verra ensuite que toutes les autres perfections en derivent, & que la prudente, & subtile Abeille ne s'y trompe jamais. Or je dis qu'il faut que pour cet effet ARou OX, (car ces 2. lignes font égales, puisque GXest égale à GR) soit le tiers de A F;ce.quiestàlavérité une équation d'Algèbre à réfoudre , puisque ces 2. lignes sontinconnues. Mais supposant la chose telle, le quarré de AR que je suppose valoir, I, estans I, celuy de A F vaudra 9, & celuy deF R 8.(à cause de l'an.;, gle droitA RF.) Mais Yans gleRFGestantde 30. degrez, demesme queXFG; 1,G fera la moitié de RF & son quarré fera le quart deceluy de RF, c'est à-dire qu'il vaudra 2; donc celuy de A G fera de3 )( à cause de l'angle droit AR G,) & celuy de F G de6. tà causedel'angle droit A - GF , ou,RGF,) donc le quarré de A G fera la moitié deceluy de FG, ou celuy de A O la moitié de celuy deFB.AinsiAOfera à F B, comme le costé d'un quarréest à sa diagonale. Si l'on mene maintenant AHsurFR qui fasse l'angleHARégalàFAG,les triangles rectangles ARH, AGF, feront semblables ; ainsi le quarré de AR fera aussi le double de celuy de HR, qui par conséquent vaudraiSciera la seiziéme partie de celui de RF Aui vaut 8. donc RH serale quart de RF, & le tiers de HF , demesmequeARest sup posée le tiers de AF; ainsi l'angle RAF fera double de l'angle RAH & double de AFG. Donc RAFfe- ra égal à AFO com plément au demi cercle de BAF(àcauseduRhombe BAFO. ) Mais le mesme R AF est le complement au demi cercle de l'angle K AF;donc les anglesBAF , KAF , & par consequent aussi KAB feront égaux, ce qu'il falloitprouver. Si l'on confidere maintenant que les angles alternes FA R, AFQ, font égaux, (à cause des parallèles KAR, QFO)on verra aussi-tost que les angles AFO,AF Q; & parconsequent aussi EFO , EFQ, font encore égaux, & les complemens au demi cercle des angles autour de A, donc les n. angles plans autour de B, F,D, font touségauxen- t'reux, de mesme que les îr. autour de A,C,E,O, & les uns font les complemens des autres au demi cercle. 4. De plus on ne peut douter que les Angles des faces autour de ACEO ne soient encore égaux entr'eux;de mesme qu'autour de BDF; puisqu'iln'y a a aucune raison, pourquoy quelqu'un feroit plus grand ou ,moindre que les autres, dumoment que touslesangles plansysont égaux ; & qu'ondémontre qu'un trian gle spherique quiales troiscostez égaux, a aussi les trois angles égaux -, donc tous les angles des faces, & du fond de l'Alveole,ou ses iy arestes font de 120.degrez chacune, puisque ceux de son contoursçavoir, BRF) BSD, SBR &c, ont cette valeur. D'ou il fuit évidem- ment que cette figure est plus commode pour se loger , que si les angles estoient inégaux; & que de plus une mesme Sphère en peut toucher toutes les faces. Or elle touchera celles du fond dans leurs centres G., Y, Z, & son centre fera sur l'axe VOI , comme en I, ensorte que les perpendiculaires IG, IY,IZ)'(eronc égales à ses rayons ce qui est évident par l'égalité desangles des faces & des Rhombes.Ainsila figure du fond de ces Alveoles doit participer de celle de cette Sphere , qui est de contenir plus d'espace que tout autre, qui auroit mesme surface &un mesme nombre de faces. 5. Pourconnoistre maintenant les angles BAF , AFO , des Rhombes , & en général tous les angles tant obtusqu'aigus autour des points A,C)E"0)lk B, D, F,on se souviendra de ce qu'on vient de voir; que le quarré de AF, étant de 9 celui de AG vaut 3, celui de FG , 6 , celui de FR, 8,ainsi celui de AO vaudra12,, & celui BF 24; parconséquentces4.quarrez feront entr'eux comme les nombres9. 8-11.2.4. & les lignes AF, RF, AO,FB, comme lesnombres3. 2R2.2R3.&2R6.)ou, Rt.R3.R6) connoissant donc les raportsdescostez FA,FO, AG, qui fontles finus des angles opposez, , dans le triangle rectangle : AGF, on aura aussi-tofi la valeur de ses angles aigus , qui font les moitiés des angles du Rhombe. Ou pluitolt prenant AR qui vaut 1. pour finustotal,ôc RF qui eu la racine de 8. oui 2R2. ) pour la tangente de l'angle FAR égal AFO on en tirera l'analogie ( si 1. donne 2. R 2.. combien 100000 )dontle quatrième terme 182842. est la tangente de 70. degrez 32.minutes 8. ou de AFO, ce qui fait voir que son complément BAF est de L09. d.28. ,min.conformémentaux experiences que les sçavants Mrs. de Cassini & Maraldi en ont faites avec toute la justesse que des figures aus si petites que celles de ces Alvéolés peuvent recevoir. Car ces Mefifeurs m'ont assuré les avoir toûjours trouves; de 70. & de 110. degrez. Je leur dois au reftecettejustice d'avouerque je leur ai l'obligation de m'avoir tiré de l'erreur où j'etois, que les Abeilles travaillassenten commun, & non feulesà seules comme elles font -,& quelles fissent'leurs Alvéoles plates parie fond; & de m'avoir par-là doané occasiond'ii magmer quelle devoit estre donc la figure du fond de ces cellules qui renfermoit le plus de perfection. Il est bon d'ajouster cnco. re icy qu'on peut parvenir à la connoissance du fond de ces cellules en fupofanc d'abord les angles en AEF chacun de 120. degrez concevant chacun de ces points au centre d'une Sphère, & les rayons A,B, AB, AK, AF, prolongées jusquà sa surface , ce qui donnera un triangle spherique à résoudre , dont chaqueangle fera de 120: degrez &dontontrouvera les costez de 109. degrez 28. minuteschacun, , 6. Il restemaintenantAc Faire voir quelafigure exagonale de ces cellulesleur a donne plusde régularité , que toute autre imaginable. Pour cet effet il est premierement évident quelles ne .peuvent avoir outre la figure exagonale , que taquarree,ou la triangulaire; puisqu'il n'y aque ces 3. figures régulières qui j>ui(Tenç feules couvrir un plan quarré , ou d'un triangulaire , ( comme nous avons fait ceuxd'un exagonal) parles milieux des cotez de sà bafe, les faces du fonds ; feront avec celles du contour des angles obtus; tandis que ces derniers en font de droits entrelles, ou de 60. degrez. Ainsi ces cellules triangulaires ou quarrées auroient moins de regularité & de commodité que les exagonales, & même moins de capacitépour une surface égale, puis quelles auroient un moindre nombre de faces. On peut même tirer de là que les éxagonales ont encore plus de solidité, puis quelles tiennent les unes avec les autres par plus de faces, & que lestuyaux les plusronds sont plus solides que ceux qui ont moins de faces, comme on le voit dans toutes les productions de la nature. 7. Il reste donc de conclure que ces alveoles admirables ont toute la per- , session qu'on pouvoit fou. haiter. Par où l'on voit que l'auteur dela nature, qui conduit ces animaux,Semble nous inviterà approfondir lesfecrets dela Geometrie & de la Physique, bien loin de les'meprHer ,comme font laplupart de ceux qui neconnoissent pasces merveilles. Cest cequima porte à chercher encore la valeur du rayon G de la sphere infcriptible àl'alveole; &pour y parvenir,jeconsidereque cette sphere (touchant les faces de l'alveoleopposées diametralehicnc ;tellesqtffc DC, EF AB,DE;AF, DC, & qui font paralleles entrelles, il est évidentque son diametre doit être égal à la distance de ces mêmes faces. Or cette distance est égale à chacun des côtez BF;, B D, DF, du triangle équilateral inscrit à l'exagone , ou à chacune des grandes diagonales des rhombes ; ce qui est aisé à voir, en ce que de l'angle de l'exagone AEF deno. degrez ôtant l'angle BFD de 60, il reste 60 degrez, dont la moitié est la valeur deIangleEFD ; lequel étant ajoutéà l'angle BFD, donne Fangle-BFE droit, &de même de FBC.Ainsi BFest perpendiculaire à ces mêmes faces, & en est par consequent atiffi la distance. Donc ce diametreest à FR comme R3 a ï , & à FA comme 2R6 à 3, ou comme 6 à —R 6. 8. J'ai été plus loin. J'ai terminé le dessus d'une alvéolé par 3 rhombes égaux & semblables à ceux du fond, en faisent en sorte que les faces du contour fuflènç aussi des rhombes pareils ; ce qui sefait, en prenant les arêtesAK,BL, &c.égales aux cotes des. fbpç&t}es:du fond, & leur menant par KL, &c. des ) paralleles,commeonlevoit dans la figure solide reprefernée en perspective. Ce qui m'a donné un nouveau corps solide terminé par ix rhombestous égaux & femblables, ayant tous les angles de ses faces égaux, & de 120 degrez ; de plus 14 angles plans aigus, chacun de 70 deg. 31. min. & 2.4 obtus, chacun de 109,28, & qui est circonscriptible à ,. une (pbcfe. Il est vrai qu'il a 6 angles solides composez chacun de4anglesplans aigus de70deg. 52. min. chacun, & 8 autres angles solides corpposez de 3 angles plans obtus, chacun de 109 deg. 28 min. Ainsi il n'est pas inscriptible, àune sphere. Ce nouveau corps ta au/ïi deux especes d'axes ; & ecanc coupe perpendiculairement a ceux qui passent par les premiers anglessolides opposez,sça- voir par son centre, la coupe cA toujours un quarré: au lieu que si on le coupe de même perpendiculairement a ceuxqui passent par les derniers opposez,lecoupe est toûjours un exagone. Ce qui fait que ce corps re- presente en tout sens (étant vu selon les derniers axes) des alveoles exagonales >- & étant vu selon les premiers, il represente des alveoles quarrees. 9. De plus, on peut l'environner de iz autres corps - tous pareils, posez sur cha- cuftc de ses faces; en forte qu'il ne restera aucun jour encre ces 13 corps, à cause que les angles de ces mêmes faces font chacun de 110 degrez : d'où il luit que ce nouveau corps (que je nomme dedecaëdre apiain ou rhombique ) peur exactement remplir l'univers; de même que l'exaëdre rhombique; dont le cube ri'est qu'une espece ; ou si l'on veut, de même que l'octaëdre joint avec le tetraedre , comme jel'ai demontré ailleurs. Nous a- vous joint ici le developemenr de ce nouveau dedecaëdre. 9. Enfin il est évident qu'on peut supposer une Sphère en chacun de ces 12, corps environnans qui les touche dans les centres de leursfaces. Ce qui nousfait connoître de quelle maniéré ezspheres doivent être rangées autour d'une treizièmeégale à chacune -d'elles, pour se toucher toutes ; & on voit qu'il n'y en a pas une feule des 13 qui n'en doivetoucher 5. au- -~ ••.7 1: 4 tres, & que de pluselles se touchenttoutes4à 4^.entfin elles sont rangées 6.z:6 autour de grands cercles de la premiere , qui font entr'eux les anglesdes r hombes ci-dessus ; & chaque cercle en a de plus3 dechaque côté dè son plan , qui se tou- chent mutuellement , & quitouchentles ô.xjiji sont toutautour delui.At (a, mirâtiliu*&>

, résumé

Le texte 'LES MERVEILLES des Abeilles' de Mr Parent explore la structure des alvéoles des abeilles, en se concentrant particulièrement sur la forme hexagonale de leur fond. Les naturalistes ont souvent admiré la figure hexagonale des alvéoles, mais peu ont étudié la forme du fond de ces cellules. Parent découvre que cette forme est d'une perfection géométrique remarquable. Les alvéoles ont une forme hexagonale régulière, ce qui les rend esthétiques, faciles à construire et économes en espace. Cette structure assure également une grande solidité et une capacité maximale pour une surface donnée. Le texte décrit en détail la géométrie des alvéoles, utilisant des concepts de géométrie et d'algèbre pour expliquer comment les abeilles construisent ces structures parfaites. Les angles des rhombes formés au fond des alvéoles sont de 120 degrés, et ces rhombes sont égaux et semblables. Parent souligne que la structure hexagonale est la plus régulière et la plus efficace, comparée aux formes triangulaires ou carrées. Par ailleurs, le texte décrit les propriétés géométriques d'un corps solide et ses interactions avec d'autres corps similaires. Lorsqu'on coupe ce corps perpendiculairement à travers ses axes, la section obtenue est un carré si le coupe passe par les premiers angles solides opposés, et un hexagone si elle passe par les derniers angles opposés. Cela signifie que le corps présente des alvéoles carrées lorsqu'il est vu selon les premiers axes et des alvéoles hexagonales selon les derniers axes. Il est possible d'entourer ce corps de 12 autres corps identiques, chacun posé sur une face du corps central. Les angles des faces, chacun mesurant 110 degrés, permettent à ces 13 corps de s'emboîter parfaitement sans laisser d'espace vide. Ce nouvel ensemble, nommé 'dédécacèdre aplain ou rhombique', peut remplir l'univers de manière exacte, similaire à l'hexacèdre rhombique ou à la combinaison de l'octaèdre et du tétraèdre. De plus, il est possible de supposer une sphère en chacun des 12 corps environnants, touchant les centres des faces. Cela permet de comprendre comment les sphères doivent être disposées autour d'une treizième sphère égale pour se toucher toutes. Chaque sphère touche 5 autres sphères, et elles sont organisées en cercles autour de la sphère centrale. Ces cercles forment des angles rhombiques et chaque cercle a trois autres cercles de chaque côté de son plan, qui se touchent mutuellement et touchent ceux qui sont autour d'eux.

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Mr Parent (Antoine Parent)

Histoire naturelle, Mathématiques

Article / Nouvelle littéraire

avril 1712

Mr Parent (Antoine Parent)

LES MERVEILLES des Abeilles, ou analyse du fond des Alveoles, dont leurs Rayons sont composez. Par Mr PARENT.