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1
p. 51-58
RÉPONSE aux démonstrations du plus qu'infini, et de ce principe : Que toute grandeur qui peut être augmentée à l'infini, peut être supposée augmentée à l'infini.
Début :
Mr de S. Aubin avoüe que s'il y avoit différens ordres d'infinis, le plus [...]
Mots clefs :
Infini, Grandeur, Calcul, Pied, Géométrie, Raisonnement, Étendue, Plus qu'infini, Divisible, Absurde
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texteReconnaissance textuelle : RÉPONSE aux démonstrations du plus qu'infini, et de ce principe : Que toute grandeur qui peut être augmentée à l'infini, peut être supposée augmentée à l'infini.
REPO NS E aux démonstrations du plus
qu'infini , et de ce principe : Que toute
grandeur qui peut être augmentée à l'infini,
peut être supposée augmentée à l'infini,
R de S. Aubin avoue que s'il y avoit
M différens ordres d'infinis , le plus
qu'infini exifteroit , mais il a prouvé que
les différens ordres d'infinis ne sont pas
moins contradictoires que le plus qu'infini
A l'égard de la seconde démonstration ,
voilà comment le Géométre anonyme
tourne l'objection de M. de S. Aubin :
C'est comme si l'on disoit qu'une grandeur qui
peut être augmentée à l'infini , ne peut être
augmentée à l'infini , par cette raison même
qu'elle peut être augmentée à l'infini . Mais il
ne s'agit que d'expliquer les termes , pour
rendre à l'objection toute sa force.
Une grandeur supposée toujours augmentable
ou divisible de plus en plus , ne
peut être supposée augmentés ou divisée
à l'infini , en sorte qu'elle ne soit plus
augmentable ou divisible.
* On
52
MERCURE
DE FRANCE
On ne peut pas supposer une grandeur
dans ces deux états différens , puisqu'on
suppose qu'il est impossible , qu'elle sorte
de son premier état , en la supposant toujours
divisible de plus en plus : ainsi il est
contradictoire de regarder l'espace asymprotique
, comme extensible à l'infini et terminé
, ou une progression géométrique
comme inépuisable et épuisée.
Le Géometre anonyme donne pour une
démonstration directe du principe , ce
raisonnement : qu'une grandeur qui peut
augmenter d'un pié d'étendue ne le peut , que
purce qu'il y a dans la nature des choses ,
un pie d'étenduë qui éxiste , que si elle
peut augmenter de deux piés , il y a donc
dans la nature une étendue de deux piés ;
&c. et qu'ainsi une grandeur pouvant
augmenter à l'infini , suppose nécessairement
unegrandeur à l'infini , c'est- à - dire , infinie,
actuellement subsistante.
M. de S. Aubin répond que rien ne fait
mieux sentir la contradiction du pricipe ,
qui régne dans la Géométrie transcendante
, que cette prétendüe démonstration .
Il est vrai qu'une grandeur n'est susceptible
de l'augmentation d'un pié , que parce
que l'étendue d'un pié subsiste dans la
natures mais prétendre que parce qu'une
grandeur est toujours augmentable ou divisible
de plus en plus , cette grandeur
est susceptible d'une augmentation actuellement
JANVIER 1734. 53
lement infinie , même de différens ordres
d'infinis , ou du plus qu'infini , et d'en
inférer que tout cela est nécessairement
subsistant dans la nature , d'une maniere
réelle et actuelle , comme l'étendue d'un
pié , de deux piés & c. c'est donner pour
démonstrations des suppositions contradictoires;
la contradiction la plus formelle
résultant de ce qu'une chose soit augmen
table ou divisible, et ne soit pas augmentable
ou divisible.
D'ailleurs on conçoit aisément , com
ment une grandeur augmentable d'un
pié ,, passe de cet état à celui d'être augmentée
d'un pié , mais le passage du fini à
l'infini , et le retour sont inconcevables ;
et une grandeur ne peut jamais être augmentée
d'un pié , si l'on y met la condition
d'un progression géométrique , suivant
laquelle l'augmentation soit de la
moitié d'un pié , d'un quart , d'un huitiéme
, & c. Les deux démonstrations du plus.
qu'infini et du principe , ne servent done
qu'à faire connoître que ces propositions
sont insoutenables.
Dans la seconde partie de la réponse au
Problême sur l'Essence de la Matiere
Mercur. de Décembr . dernier 2. vol . pag.
2850. lign . 4. Au lieu de ces mots , nombres
entiers & fractions du dessus et au dessous
de l'unité , lisez , nombres positifs et
négatifs au dessus et au dessous de zéro .
III.
$4 MERCURE DE FRANCE
III. Partie de la Réponse au Problême.
Lplus
A Réponse aux Démonstrations du
plus qu'infini , et du principe , s'est
présentée ici fort à propos , pour rappeller
les idées , dont l'évidence a été développée
dans les deux premieres Parties
de cette Dissertation .
Celle cy est la plus importante , non
que le Calcul puisse commander au raisonnement
: tous deux marchent de pair,
et doivent toujours concourir dans une
parfaite intelligence ; mais le Calcul est
plus d'usage que le raisonnement , dans
les trois especes de Géométrie , simple ,
composée et transcendante.
Les Observations suivantes , qui rou
lent sur le Calcul , ne sont proprement
convenables qu'à ceux qui sont versez
dans l'Algebre ; car je ne puis suppléer
ici aux principes du Calcul Algébrique
qui demandent des explications étenduës
et même quelque usage,pour être entendu .
Cependant ceux qui n'ont aucune teinture
d'Algebre, pourront entendre , sinon
le Calcul même , au moins les raisons sur
lesquelles je me fonde , et quel est l'usage
et l'esprit en géneral de la Géometrie de
l'infini, y
Soit le mouvement désigné par m ,
et le repos désigné par r . L'Auteur du
Problême prétend démontrer par le Cal-.
cul
JANVIER. 1734 55
eul suivant , qu'un mouvement infini est
égal à un parfait repos.
m plus t diminüe , plus m augmente
, sans que e varie ; de sorte que t
étant , alors moet em 。=r
- Ce Calcul se détruit premierement par
les conséquences qui en résultent,ainsi que
je l'ai démontré . Or la verité est une, et ce
qui est faux par le raisonnement , ne peut
être vrai le Calcul. Mais il y a plus 3
par
ce Calcul ne se détruit pas moins par
les principes du Calcul même.
Ce qui a causé l'erreur qui s'y trouve,
c'est que l'Auteur du Problême n'a pas
remonté aux principes , suivant l'exemple
de la plupart des Géométres plus attentifs
à calculer qu'à chercher les raisons
pour lesquelles il faut calculer ainsi , plus
occupez des regles du calcul que de la
source de ces regles . C'est neanmoins la
principale utilité de la Géometrie, de considerer
autant pourquoi chaque opération
se fait , que de quelle maniere elle doit sa
faire. C'est encore plus dans les causes des
préceptes , que dans les préceptes mêmes
de la Géométrie et de l'Algébre , que l'èsprit
peut trouver le plus grand avantage
qui en résulte, et acquerir cette précision
et cette étendue , qui sont les fruits les
plus précieux de ces deux Sciences . Je
passe à l'examen du Calcul en question .
Il est clair que par e l'Auteur entend
se
uno
56 MERCURE DE FRANCE
une quantité de mouvement constante et
finie ; par tune grandeur numérique variable
et décroissante à l'infini , et par r
le repos ou le mouvement nul : d'où il
suit que mest une quantité de
mouvement , finie lorsque t est un nombre
fini , et infinie , lorsque to , et
alors on a mte , ou moe , mettant
au lieu de t sa valeur o . Mais on n'a
pas mor , puisque r est le repos.ou
le mouvement nul , et que moe
quantité de mouvement constante et finie.
Il est vrai que c'est un principe reçû en
Géométrie , que toute grandeur multipliée
par o , donne un produit nul , et
qu'ainsi on doit avoir mxoo, ou
; mais cela prouve simplement que si
l'on a moe quantité constante , la
supposition est absurde et par conséquent
mabsurde, et parce que , suivant les prin-,
cipes des Géometres Infinitaires , m infinie
( , t étant o ) est une grandeur
qui multipliée par to , donne e grandeur
constante , il s'ensuit que m
est une grandeur absurde ; mais il ne s'ensuit
pas que mor mouvement nul; en
effet il seroit facile de démontrer géometriquement
que par la loi même qui donne
m , c'est- à- dire , une quantité finie
e , divisée par une grandeur t décroissante
à l'infini , il est absurde que t soit
L'infini
JANVIER 1734. 57
L'infini en grandeur est absurde , mais
par la raison qu'on peut concevoir qu'u
ne chose est absurde , on peut aussi l'exprimer
, et c'est ce qui faitou ∞ . De
plus on peut aussi se servir de l'expression
de l'absurdité dans la recherche du vrai ;
suivant la méthode des plus grands géometres
. Mais il y faut apporter beaucoup de
précaution, et il y a souvent lieu de craindre
que l'absurdité supposée dans le Calcul
ne passe dans le raisonnement, et ne
fasse prendre de fausses idées , ce qui peut
arriver sur tout , quand on donne trop
l'essort à son imagination .
C'estune magnifique invention d'avoir
par leCalcul differentiel les cxpressionsdes
grandeurs nulles, telles que, quoique nulles
, elles conservent leurs rapports primitifs,
en sorte que par là les Géometres Infinitaires
ont assujetti ces nullitez aux Calculs
, et qu'il operent aussi aisément sur les
grandeurs nulles , que sur les grandeurs
finies ; ce qui leur donne des voies beaucoup
plus abregées , et sert à découvrir
tous les Problêmes , où deux ou plusieurs
points se réunissent ; à trouver les tangentes,
les grandeurs négatives, les points d'in
flexion et de rebroussement, les caustiques
tant réflexion
par que par réfraction , et les
autres proprietez des courbes et de toutes
sortes de figures. Mais tous ceux qui ont la
véritable clef de la Géométrie , ne pren.
D nent
58 MERCURE DE FRANCE
nent ces nullitez que pour ce qu'elles sont ,
et il s'en faut bien qu'ils ne les regardent
comme réelles.
Il étoit important de justifier la Géométrie
des désordres dans le raisonnement
,
qui lui étoient Imputés.
De tout cecy il résulte qu'un corps ne
peut être à la fois à Paris et à Constantinople
, et que cette conséquence ne répugne
pas moins à la Géométrie qu'au raisonnement
. Je finirai par cette observation
, que le calcul , au lieu d'être l'instrument
, est quelquefois rendu le voile des
Sciences .
qu'infini , et de ce principe : Que toute
grandeur qui peut être augmentée à l'infini,
peut être supposée augmentée à l'infini,
R de S. Aubin avoue que s'il y avoit
M différens ordres d'infinis , le plus
qu'infini exifteroit , mais il a prouvé que
les différens ordres d'infinis ne sont pas
moins contradictoires que le plus qu'infini
A l'égard de la seconde démonstration ,
voilà comment le Géométre anonyme
tourne l'objection de M. de S. Aubin :
C'est comme si l'on disoit qu'une grandeur qui
peut être augmentée à l'infini , ne peut être
augmentée à l'infini , par cette raison même
qu'elle peut être augmentée à l'infini . Mais il
ne s'agit que d'expliquer les termes , pour
rendre à l'objection toute sa force.
Une grandeur supposée toujours augmentable
ou divisible de plus en plus , ne
peut être supposée augmentés ou divisée
à l'infini , en sorte qu'elle ne soit plus
augmentable ou divisible.
* On
52
MERCURE
DE FRANCE
On ne peut pas supposer une grandeur
dans ces deux états différens , puisqu'on
suppose qu'il est impossible , qu'elle sorte
de son premier état , en la supposant toujours
divisible de plus en plus : ainsi il est
contradictoire de regarder l'espace asymprotique
, comme extensible à l'infini et terminé
, ou une progression géométrique
comme inépuisable et épuisée.
Le Géometre anonyme donne pour une
démonstration directe du principe , ce
raisonnement : qu'une grandeur qui peut
augmenter d'un pié d'étendue ne le peut , que
purce qu'il y a dans la nature des choses ,
un pie d'étenduë qui éxiste , que si elle
peut augmenter de deux piés , il y a donc
dans la nature une étendue de deux piés ;
&c. et qu'ainsi une grandeur pouvant
augmenter à l'infini , suppose nécessairement
unegrandeur à l'infini , c'est- à - dire , infinie,
actuellement subsistante.
M. de S. Aubin répond que rien ne fait
mieux sentir la contradiction du pricipe ,
qui régne dans la Géométrie transcendante
, que cette prétendüe démonstration .
Il est vrai qu'une grandeur n'est susceptible
de l'augmentation d'un pié , que parce
que l'étendue d'un pié subsiste dans la
natures mais prétendre que parce qu'une
grandeur est toujours augmentable ou divisible
de plus en plus , cette grandeur
est susceptible d'une augmentation actuellement
JANVIER 1734. 53
lement infinie , même de différens ordres
d'infinis , ou du plus qu'infini , et d'en
inférer que tout cela est nécessairement
subsistant dans la nature , d'une maniere
réelle et actuelle , comme l'étendue d'un
pié , de deux piés & c. c'est donner pour
démonstrations des suppositions contradictoires;
la contradiction la plus formelle
résultant de ce qu'une chose soit augmen
table ou divisible, et ne soit pas augmentable
ou divisible.
D'ailleurs on conçoit aisément , com
ment une grandeur augmentable d'un
pié ,, passe de cet état à celui d'être augmentée
d'un pié , mais le passage du fini à
l'infini , et le retour sont inconcevables ;
et une grandeur ne peut jamais être augmentée
d'un pié , si l'on y met la condition
d'un progression géométrique , suivant
laquelle l'augmentation soit de la
moitié d'un pié , d'un quart , d'un huitiéme
, & c. Les deux démonstrations du plus.
qu'infini et du principe , ne servent done
qu'à faire connoître que ces propositions
sont insoutenables.
Dans la seconde partie de la réponse au
Problême sur l'Essence de la Matiere
Mercur. de Décembr . dernier 2. vol . pag.
2850. lign . 4. Au lieu de ces mots , nombres
entiers & fractions du dessus et au dessous
de l'unité , lisez , nombres positifs et
négatifs au dessus et au dessous de zéro .
III.
$4 MERCURE DE FRANCE
III. Partie de la Réponse au Problême.
Lplus
A Réponse aux Démonstrations du
plus qu'infini , et du principe , s'est
présentée ici fort à propos , pour rappeller
les idées , dont l'évidence a été développée
dans les deux premieres Parties
de cette Dissertation .
Celle cy est la plus importante , non
que le Calcul puisse commander au raisonnement
: tous deux marchent de pair,
et doivent toujours concourir dans une
parfaite intelligence ; mais le Calcul est
plus d'usage que le raisonnement , dans
les trois especes de Géométrie , simple ,
composée et transcendante.
Les Observations suivantes , qui rou
lent sur le Calcul , ne sont proprement
convenables qu'à ceux qui sont versez
dans l'Algebre ; car je ne puis suppléer
ici aux principes du Calcul Algébrique
qui demandent des explications étenduës
et même quelque usage,pour être entendu .
Cependant ceux qui n'ont aucune teinture
d'Algebre, pourront entendre , sinon
le Calcul même , au moins les raisons sur
lesquelles je me fonde , et quel est l'usage
et l'esprit en géneral de la Géometrie de
l'infini, y
Soit le mouvement désigné par m ,
et le repos désigné par r . L'Auteur du
Problême prétend démontrer par le Cal-.
cul
JANVIER. 1734 55
eul suivant , qu'un mouvement infini est
égal à un parfait repos.
m plus t diminüe , plus m augmente
, sans que e varie ; de sorte que t
étant , alors moet em 。=r
- Ce Calcul se détruit premierement par
les conséquences qui en résultent,ainsi que
je l'ai démontré . Or la verité est une, et ce
qui est faux par le raisonnement , ne peut
être vrai le Calcul. Mais il y a plus 3
par
ce Calcul ne se détruit pas moins par
les principes du Calcul même.
Ce qui a causé l'erreur qui s'y trouve,
c'est que l'Auteur du Problême n'a pas
remonté aux principes , suivant l'exemple
de la plupart des Géométres plus attentifs
à calculer qu'à chercher les raisons
pour lesquelles il faut calculer ainsi , plus
occupez des regles du calcul que de la
source de ces regles . C'est neanmoins la
principale utilité de la Géometrie, de considerer
autant pourquoi chaque opération
se fait , que de quelle maniere elle doit sa
faire. C'est encore plus dans les causes des
préceptes , que dans les préceptes mêmes
de la Géométrie et de l'Algébre , que l'èsprit
peut trouver le plus grand avantage
qui en résulte, et acquerir cette précision
et cette étendue , qui sont les fruits les
plus précieux de ces deux Sciences . Je
passe à l'examen du Calcul en question .
Il est clair que par e l'Auteur entend
se
uno
56 MERCURE DE FRANCE
une quantité de mouvement constante et
finie ; par tune grandeur numérique variable
et décroissante à l'infini , et par r
le repos ou le mouvement nul : d'où il
suit que mest une quantité de
mouvement , finie lorsque t est un nombre
fini , et infinie , lorsque to , et
alors on a mte , ou moe , mettant
au lieu de t sa valeur o . Mais on n'a
pas mor , puisque r est le repos.ou
le mouvement nul , et que moe
quantité de mouvement constante et finie.
Il est vrai que c'est un principe reçû en
Géométrie , que toute grandeur multipliée
par o , donne un produit nul , et
qu'ainsi on doit avoir mxoo, ou
; mais cela prouve simplement que si
l'on a moe quantité constante , la
supposition est absurde et par conséquent
mabsurde, et parce que , suivant les prin-,
cipes des Géometres Infinitaires , m infinie
( , t étant o ) est une grandeur
qui multipliée par to , donne e grandeur
constante , il s'ensuit que m
est une grandeur absurde ; mais il ne s'ensuit
pas que mor mouvement nul; en
effet il seroit facile de démontrer géometriquement
que par la loi même qui donne
m , c'est- à- dire , une quantité finie
e , divisée par une grandeur t décroissante
à l'infini , il est absurde que t soit
L'infini
JANVIER 1734. 57
L'infini en grandeur est absurde , mais
par la raison qu'on peut concevoir qu'u
ne chose est absurde , on peut aussi l'exprimer
, et c'est ce qui faitou ∞ . De
plus on peut aussi se servir de l'expression
de l'absurdité dans la recherche du vrai ;
suivant la méthode des plus grands géometres
. Mais il y faut apporter beaucoup de
précaution, et il y a souvent lieu de craindre
que l'absurdité supposée dans le Calcul
ne passe dans le raisonnement, et ne
fasse prendre de fausses idées , ce qui peut
arriver sur tout , quand on donne trop
l'essort à son imagination .
C'estune magnifique invention d'avoir
par leCalcul differentiel les cxpressionsdes
grandeurs nulles, telles que, quoique nulles
, elles conservent leurs rapports primitifs,
en sorte que par là les Géometres Infinitaires
ont assujetti ces nullitez aux Calculs
, et qu'il operent aussi aisément sur les
grandeurs nulles , que sur les grandeurs
finies ; ce qui leur donne des voies beaucoup
plus abregées , et sert à découvrir
tous les Problêmes , où deux ou plusieurs
points se réunissent ; à trouver les tangentes,
les grandeurs négatives, les points d'in
flexion et de rebroussement, les caustiques
tant réflexion
par que par réfraction , et les
autres proprietez des courbes et de toutes
sortes de figures. Mais tous ceux qui ont la
véritable clef de la Géométrie , ne pren.
D nent
58 MERCURE DE FRANCE
nent ces nullitez que pour ce qu'elles sont ,
et il s'en faut bien qu'ils ne les regardent
comme réelles.
Il étoit important de justifier la Géométrie
des désordres dans le raisonnement
,
qui lui étoient Imputés.
De tout cecy il résulte qu'un corps ne
peut être à la fois à Paris et à Constantinople
, et que cette conséquence ne répugne
pas moins à la Géométrie qu'au raisonnement
. Je finirai par cette observation
, que le calcul , au lieu d'être l'instrument
, est quelquefois rendu le voile des
Sciences .
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Résumé : RÉPONSE aux démonstrations du plus qu'infini, et de ce principe : Que toute grandeur qui peut être augmentée à l'infini, peut être supposée augmentée à l'infini.
Le texte explore les controverses mathématiques et philosophiques autour des concepts d'infini et de grandeur infinie. Un géomètre anonyme et M. de S. Aubin débattent de l'existence du 'plus qu'infini' et des différents ordres d'infinis. Le géomètre anonyme argue que supposer une grandeur augmentable à l'infini mène à des contradictions, car cette grandeur ne peut être à la fois augmentable et déjà augmentée à l'infini. M. de S. Aubin critique cette démonstration, la jugeant fondée sur des suppositions contradictoires. Le texte examine également une démonstration directe selon laquelle une grandeur augmentable à l'infini suppose l'existence d'une grandeur infinie. M. de S. Aubin réfute cette idée, affirmant que le passage du fini à l'infini est inconcevable et que les démonstrations du 'plus qu'infini' et du principe sont insoutenables. Par ailleurs, le texte met en avant l'importance de la Géométrie et de l'Algèbre, soulignant la nécessité de comprendre les raisons derrière les opérations calculatoires. Il critique un calcul présenté par l'auteur d'un problème sur l'essence de la matière, démontrant que ce calcul est erroné tant par ses conséquences que par ses principes. Le texte conclut en insistant sur la nécessité pour la Géométrie de se justifier des désordres dans le raisonnement qui lui sont imputés et en soulignant que le calcul peut parfois masquer les véritables fondements des sciences.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
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2
p. 872-879
SUITE de la Réponse de M. de Saint-Aubin, au Problême sur l'Essence de la Matiere.
Début :
J'ay affaire aujourd'hui à trois Géometres, à deux Anonymes et au P. Castel. Le premier [...]
Mots clefs :
Essence de la matière, Point, Matière, Louis-Bertrand Castel, Infini, Calcul, Corps, Géométrie, Points, Raisonnement, Portion, Absurde, Entendement
Afficher :
texteReconnaissance textuelle : SUITE de la Réponse de M. de Saint-Aubin, au Problême sur l'Essence de la Matiere.
SUITE de la Réponse de M. de Saint-
Aubin , au Problême sur l'Essence de
la Matiere.
' Ay affaire aujourd'hui à trois Géometres , à
deux Anonymes et au P. Castel. Le premier
des Anonymes croit que , suivant mon aveu ,
toute la solidité de la Géométrie réside dans le
Problême sur l'Essence de la Matiere , dont il se
déclare l'Auteur ; et il me fait dire en propres
termes , que la Géométrie n'est pas plus solide ,
quoique je n'aye comparé le Problème qu'aux
écueils de raisonnement , que la plupart des Géométres
n'ont pas évitez . C'est ce qu'il est facile
de voir dans la premiere Partie de ma Réponse.
L'Analise de l'Infini se propose de pousser toujours
en avant son Calcul , sans se soucier des
absurditez. Suivant ce Principe , elle considere
les quantitez positives et les négatives , les possibles
et les imaginaires , les vrayes et les absurdes .
Ces distinctions sont si bien établies , que les termes
de nul , d'imaginaire et d'absurde , sont propres
à la science et affectez à differentes quantitez
Algebriques. Elle tire de l'infini des solutions
plus courtes , des vûës plus étenduës , une analogie
et des expressions plus generales .
Mais les écueils du raisonnement qu'elle rencontre
sur sa route , elle ne doit les considerer
que comme des ecueils ; ce qui est compris dans
le Calcul , ne devant pas toujours passer dans le
raisonnement. Et c'est encore un avantage de
l'infini , d'avertir quand il se présente dans une
anaMAY.
1734. 873
analogie, que la supposition cesse d'être possible .
L'Auteur du Problême , au contraire , veut
guider le raisonnement par des opérations qui
ne sont propres qu'au Calcul . Il prétend trouver
par le Calcul , que le mouvement infini est égal
au repos ; et partant de cette conclusion absurde ,
il detruit toutes les propriétez de la Matiere ; il
la réduit à une simple possibilité , ce qui est nier
son existence ; et il soutient qu'un corps peut
être à la fois dans tous les lieux de l'Univers.
Mais , dira- t'on , le Calcul est donc imparfait
et trompeur , puisqu'il a donné à l'Auteur du
Problême cette premiere conclusion de l'égalité
du mouvement infini et du repos.
0 .
Je réponds que l'Auteur du Problême a dû
s'appercevoir que le Calcul lui donnoit les deux
contradictoires , sçavoir , moe , et mo
Car il est évidemment contradictoire que e ,
quantité de mouvement finie , soit égale à o
nullité de mouvement. Il n'y a rien de plus opposé
à la précision du Calcul , que d'en inferer
qu'une quantité de mouvement soit en mêmesemps
réelle et déterminée , et qu'elle soit nulle.
Toute grandeur , multipliée par zero, est égale
à zéro ; et si d'une grandeur multipliée par zéro,
il résulte un produit réel , c'est une marque infail
lible que cette grandeur est absurde.
Est - ce la faute du Calcul ? Ce ne l'est en aucune
maniere. Sa charge est autre que celle du raisonnement.
Suivant le raisonnement , à une demande
absurde point de réponse; suivant le calcul
, à une demande absurde , réponse absurde.
Vous interrogez le calcul par l'infini , grandeur
absurde en Géométrie , que vous supposez
séelie ; le calcul vous répond une absurdité , qui
est une confirmation de l'absurdité de l'infini
géométriques
La
874 MERCURE DE FRANCE
La Géométrie transcendante considere comme
point de rencontre un point , qui par la supposition
ne peut rencontrer . Elle examine aussi dans
la réunion des deux points , les rapports qu'auroient
ces deux points séparez . C'est - là tout le
mystere de l'infini , auquel rien ne manque du
côté du Calcul , et auquel il ne manque du côté
du raisonnement , que d'employer des mots qui
Bussent de la justesse et qui parussent moins merveilleux
; ce qui seroit facile.Voilà quels sont les
vrais principes de la Géométrie de l'infini ; et
quoiqu'ils n'ayent été expliquez nulle part , je ne
crains pas qu'ils soient désavouez par les plus
sçavans Géométres . C'est deffendre cette Géométrie
que de montrer qu'elle n'a aucune part
au Scepticisme et aux inclusions inconcevables ,
que l'Auteur du Problême a voulu y introduire.
Dans le même Mercure de Janvier , un autre
Géométre s'est imaginé que j'attaquois la Géométrie
, en tant que ses Elements , qui sont des
points , des lignes , des surfaces , ne sont que des
abstractions de l'entendement sans réalité. C'est
l'ancienne objection des Sceptiques , renouvellée
par Bayle. Les Géométres ont raison de ne s'y
pas arrêter. Quoique la précision géométrique
ne puisse être executée réellement et dans la matiere,
c'est un objet très- digne de l'entendement,
et qui conduit à la plus grande exactitude réelle
qui soit possible . Mais cette question n'étoit
qu'indirecte ; il s'agissoit de sçavoir si le passage
du fini à l'infini peut se faire par l'exaltation
du point à la ligne , de la ligne à la surface , &c.
et j'ay soutenu que les Infinitaires ne l'entendent
ni ne le peuvent entendre ainsi ; car une infinité
de surfaces n'est point un solide.
Le P. Castel est depuis survenu dans le Mercu
MAY. 1734- 875
re de Février. Il ne touche pas la plupart des
questions principales , sçavoir si , en Géométrie ,
on peut expliquer le passage du fini à l'infini ; si
la matiere n'est qu'une simple possibilité ; si c'est
une chose concevable que l'Etre absorbé dans le
néant ; si le plusqu'infini , les differens ordres
d'infinis et le simple infini géométrique actuelle
ment subsistant , sont des objets réels de l'entendement
ou des contradictions.
Le P. Castel se renferme dans la question de
la divisibilité à l'infini , si souvent debattuë et qui
appartient plus à la Physique qu'à la Géométrie.
Les Points , dit-il , que j'admets , sont de vrais
Points Physiques , autant que géométriques. Il admet
donc de vrais atomes , en même- temps qu'il
soutient l'infini géométrique , les differens ordres
d'infinis et le plusqu'infini .
Il vient de dire que le Point,qu'il admet; est Phy-
Bique , c'est à-dire , qu'il est matériel ou qu'il
est un corps et pour faire entendre qu'en suivant
le sentiment de la divisibilité à l'infini , il a été
dans l'erreur , il dit aussi- tôt après : le Point que
je concevois étoit un corps ; c'est- à - dire, que le
Point qu'il conçoit aujourd'hui , n'est pas un
corps , ou que le Point qu'il admet , n'est pas un
Point Physique.
Il nous donne ensuite des exemples sensibles.
Un point suspendu en l'air n'a qu'un aspect. Oui ,
un point Mathématique conçû en l'air,et qui n'est
qu'une abstraction de l'entendement ; mais si
c'est telle portion qu'on voudra de matiere , elle
aura toujours differents aspects relatifs à tout ce
qui l'environne. Je puis considerer l'angle d'une
fortification , en tant qu'il est saillant ; mais la
matiere qui compose cet angle , a nécessairement
an côté opposé et qui regarde la Place,
Le
876 MERCURE DE FRANCE
Le P. Castel m'impute une contre supposition
secrette , parce que j'ai dit que la plus petite por
tion de matiere ne cesse point , par la division
d'être matiere elle - même ; que la portion de matiere
la plus divisée qu'on puisse imaginer , étant
mise sur un plan , le touchera toujours par une de
ses parties , et ne le touchera pas par celle qui est
au-dessus, Il n'y a aucune contre- supposition ni expresse
ni secrette dans cette hypotèse . La portion
de matiere , la plus petite et la plus divisée qu'on
puisse imaginer, est encore divisible, parce que l'imagination
est finie, et que la divisibilité est infinie.
Ou si ces expressions de la portion de la
Matiere la plus petite et la plus divisée qu'on
puisse imaginer, déplaisent au P. Castel , il n'y
a qu'à dire qu'une portion de matiere , quelque
petite et quelque divisée qu'on la suppose , étant
mise sur un plan, le touchera toujours par une de
ses parties , et ne le touchera pas par celle qui est
au-dessus.
Le P. Castel continuë ainsi : Le point, la ligne,
la surface , appartiennent à l'étendue , sont dans
P'étendue indépendamment de notre entendement.
Je répons qu'au contraire le point , la ligne , la
surface , n'appartiennent en aucune maniere à
l'étendue et n'y sont point ni dépendamment ni
indépendamment de notre entendement. L'esprit
les considere abstractivement, mais ils ne peuvent
être réellement dans l'étendue . Tout ce qui est.
étendu et matériel , a nécessairement longueur ,
largeur et profondeur .
Ya-t'il rien de plus réel , dh le P. Castel , que
les bornes qui terminent quelque chose ? Non, sans
doute , mais si je ne fais attention en elles qu'à
cette qualité terminative , pour ainsi - dire , c'est
ane abstraction de l'entendement , Si je considere
MAY . 1734. 877
les bornes telles que réellement elles existent , si
je les considere comme des corps ou des portions
de corps , elles ne peuvent cesser d'avoir un côté
interieur joint à un exterieur , et d'être composées
de parties. Car toute portion d'un corps est
matér! elle , et elle - même est un corps.
Quoi ! je puis , dit le P. Castel , par une operation
aussi grassiere que l'est le toucher , faire le discernement
de la surface et du corps , toucher la surface,
longueur et largeur , sans toucher la profondeur , et
vous me direz que ces choses -là ne sont pas réellement
distinctes , et qu'elles ne le sont que par une
operation de l'esprit , tandis qu'elles le sont par
une operation de l'oeil et même de la main? Car
absolument ce que je vois et ce que je touche , n'a
point de profondeur. Au - dessous je sçais bien qu'il
ya une profondeur , mais elle appartient au corps
e non à la surface.
être
Ces paroles renferment la démonstration la
plus forte de la divisibilité à l'infini et l'exclusion
la plus formelle des atomes , puisque , de l'aveu
du P. Castel , la profondeur est réellement distincte
de la longueur , et que l'une ne peut
sans l'autre, Donc tout ce qui est Physique est
composé de parties réellement distinctes ; donc
il ne peut y avoir de point physique , le point
étant un, simple et sans parties ; donc la plus petite
portion de matiere qu'on puisse imaginer ,
peut encore devenir plus petite et ne peut cesser
d'être divisible ; C. Q. F. D.
Je puis me promener sur une Montagne sans
descendre dans une Vallée. Le P. Castel voudroit-
il en conclure qu'une Montagne peut être
sans vallée Une portion de matiere ne peut pas
être davantage sans longueur , largeur et profon
deur , disons plus, sans une multiplicité de partiog
878 MERCURE DE FRANCE
ties et d'aspects qui répondent à tous les corps
qui l'environnent , qu'une montagne peut être
sans vallée .
Mais je suppose que le Systême des atomes
soit soutenable : ces atomes , au moins , ne peuvent
être inégaux. Car leur difference seroit une
multiplicité de parties , et le plus gros pourroit
par un retranchement être rendu égal au plus
petit. Les atomes inégaux du P. Castel reviennent
au même que les points naissants et évanouissants
, auxquels Newton attribue differens
rapports entr'eux . L'inégalité des points Mathématiques
, quoique soutenue par ces deux Auteurs
celebres , n'en est pas moins contradictoire,
Après avoir rapporté la démonstration suivante
du P. Castel ; Dans un quarré qui à sa
diagonale , les lignes qui coupent ce quarré
parallelement à l'autre côté , coupent la diagonale
en autant de points , ni plus ni moins ; or la diagonale
est plus grande que le côté; donc les points d'in
tersection sont plus grands , ce qu'il falloit démontrer.
J'ai pleinement réfuté ce raisonnement
que le P. Castel dit que je n'ai pas jugé à propos
d'entamer , et je l'ai réfuté de la maniere la
plus directe , en faisant voir qu'il ne résulte autre
chose de l'hypothèse , sinon que les intervalles
d'intersection sont plus grands dans la dia
gonale que dans le côté du quarré.
C'est une pétition de principe, de prétendre que
le point est plus grand dans un plus grand cercle
: Euclide a bien sûrement pensé le contraire ,
lorsqu'il a démontré que dans tout cercle on ne
peut tirer qu'une tangente au même point. Les
objections qu'on peut faire sur le point de contact
d'un plus grand cercle , se rapportent au
cercle matériel , où il ne peut y avoir de point
MaMAY.
1734. 879
Mathématique et dans lequel la précision géométrique
ne peut se rencontrer,
pour
Quant à ce que le P. Castel donne l'expression
simple d'une chose bien sublime ,
xo1 ; il me permettra de dire que je n'y
trouve aucune sublimité ; et les principes que j'ai
expliquez , ne m'y laissent appercevoir qu'une
double impossibilité , dont les deux parties se
detruisent par la division et la multiplication.
Il est temps de finir une Dissertation aussi
abstraite. La Géométrie qui va rigoureusement
à la précision du vrai , est fort éloignée de l'esprit
de dispute. Ne donnons pas lieu aux Dialec
ticiens et aux Physiciens de prétendre que cett
science soit , comme les leurs , sujette aux contrarietez
d'opinions.
Aubin , au Problême sur l'Essence de
la Matiere.
' Ay affaire aujourd'hui à trois Géometres , à
deux Anonymes et au P. Castel. Le premier
des Anonymes croit que , suivant mon aveu ,
toute la solidité de la Géométrie réside dans le
Problême sur l'Essence de la Matiere , dont il se
déclare l'Auteur ; et il me fait dire en propres
termes , que la Géométrie n'est pas plus solide ,
quoique je n'aye comparé le Problème qu'aux
écueils de raisonnement , que la plupart des Géométres
n'ont pas évitez . C'est ce qu'il est facile
de voir dans la premiere Partie de ma Réponse.
L'Analise de l'Infini se propose de pousser toujours
en avant son Calcul , sans se soucier des
absurditez. Suivant ce Principe , elle considere
les quantitez positives et les négatives , les possibles
et les imaginaires , les vrayes et les absurdes .
Ces distinctions sont si bien établies , que les termes
de nul , d'imaginaire et d'absurde , sont propres
à la science et affectez à differentes quantitez
Algebriques. Elle tire de l'infini des solutions
plus courtes , des vûës plus étenduës , une analogie
et des expressions plus generales .
Mais les écueils du raisonnement qu'elle rencontre
sur sa route , elle ne doit les considerer
que comme des ecueils ; ce qui est compris dans
le Calcul , ne devant pas toujours passer dans le
raisonnement. Et c'est encore un avantage de
l'infini , d'avertir quand il se présente dans une
anaMAY.
1734. 873
analogie, que la supposition cesse d'être possible .
L'Auteur du Problême , au contraire , veut
guider le raisonnement par des opérations qui
ne sont propres qu'au Calcul . Il prétend trouver
par le Calcul , que le mouvement infini est égal
au repos ; et partant de cette conclusion absurde ,
il detruit toutes les propriétez de la Matiere ; il
la réduit à une simple possibilité , ce qui est nier
son existence ; et il soutient qu'un corps peut
être à la fois dans tous les lieux de l'Univers.
Mais , dira- t'on , le Calcul est donc imparfait
et trompeur , puisqu'il a donné à l'Auteur du
Problême cette premiere conclusion de l'égalité
du mouvement infini et du repos.
0 .
Je réponds que l'Auteur du Problême a dû
s'appercevoir que le Calcul lui donnoit les deux
contradictoires , sçavoir , moe , et mo
Car il est évidemment contradictoire que e ,
quantité de mouvement finie , soit égale à o
nullité de mouvement. Il n'y a rien de plus opposé
à la précision du Calcul , que d'en inferer
qu'une quantité de mouvement soit en mêmesemps
réelle et déterminée , et qu'elle soit nulle.
Toute grandeur , multipliée par zero, est égale
à zéro ; et si d'une grandeur multipliée par zéro,
il résulte un produit réel , c'est une marque infail
lible que cette grandeur est absurde.
Est - ce la faute du Calcul ? Ce ne l'est en aucune
maniere. Sa charge est autre que celle du raisonnement.
Suivant le raisonnement , à une demande
absurde point de réponse; suivant le calcul
, à une demande absurde , réponse absurde.
Vous interrogez le calcul par l'infini , grandeur
absurde en Géométrie , que vous supposez
séelie ; le calcul vous répond une absurdité , qui
est une confirmation de l'absurdité de l'infini
géométriques
La
874 MERCURE DE FRANCE
La Géométrie transcendante considere comme
point de rencontre un point , qui par la supposition
ne peut rencontrer . Elle examine aussi dans
la réunion des deux points , les rapports qu'auroient
ces deux points séparez . C'est - là tout le
mystere de l'infini , auquel rien ne manque du
côté du Calcul , et auquel il ne manque du côté
du raisonnement , que d'employer des mots qui
Bussent de la justesse et qui parussent moins merveilleux
; ce qui seroit facile.Voilà quels sont les
vrais principes de la Géométrie de l'infini ; et
quoiqu'ils n'ayent été expliquez nulle part , je ne
crains pas qu'ils soient désavouez par les plus
sçavans Géométres . C'est deffendre cette Géométrie
que de montrer qu'elle n'a aucune part
au Scepticisme et aux inclusions inconcevables ,
que l'Auteur du Problême a voulu y introduire.
Dans le même Mercure de Janvier , un autre
Géométre s'est imaginé que j'attaquois la Géométrie
, en tant que ses Elements , qui sont des
points , des lignes , des surfaces , ne sont que des
abstractions de l'entendement sans réalité. C'est
l'ancienne objection des Sceptiques , renouvellée
par Bayle. Les Géométres ont raison de ne s'y
pas arrêter. Quoique la précision géométrique
ne puisse être executée réellement et dans la matiere,
c'est un objet très- digne de l'entendement,
et qui conduit à la plus grande exactitude réelle
qui soit possible . Mais cette question n'étoit
qu'indirecte ; il s'agissoit de sçavoir si le passage
du fini à l'infini peut se faire par l'exaltation
du point à la ligne , de la ligne à la surface , &c.
et j'ay soutenu que les Infinitaires ne l'entendent
ni ne le peuvent entendre ainsi ; car une infinité
de surfaces n'est point un solide.
Le P. Castel est depuis survenu dans le Mercu
MAY. 1734- 875
re de Février. Il ne touche pas la plupart des
questions principales , sçavoir si , en Géométrie ,
on peut expliquer le passage du fini à l'infini ; si
la matiere n'est qu'une simple possibilité ; si c'est
une chose concevable que l'Etre absorbé dans le
néant ; si le plusqu'infini , les differens ordres
d'infinis et le simple infini géométrique actuelle
ment subsistant , sont des objets réels de l'entendement
ou des contradictions.
Le P. Castel se renferme dans la question de
la divisibilité à l'infini , si souvent debattuë et qui
appartient plus à la Physique qu'à la Géométrie.
Les Points , dit-il , que j'admets , sont de vrais
Points Physiques , autant que géométriques. Il admet
donc de vrais atomes , en même- temps qu'il
soutient l'infini géométrique , les differens ordres
d'infinis et le plusqu'infini .
Il vient de dire que le Point,qu'il admet; est Phy-
Bique , c'est à-dire , qu'il est matériel ou qu'il
est un corps et pour faire entendre qu'en suivant
le sentiment de la divisibilité à l'infini , il a été
dans l'erreur , il dit aussi- tôt après : le Point que
je concevois étoit un corps ; c'est- à - dire, que le
Point qu'il conçoit aujourd'hui , n'est pas un
corps , ou que le Point qu'il admet , n'est pas un
Point Physique.
Il nous donne ensuite des exemples sensibles.
Un point suspendu en l'air n'a qu'un aspect. Oui ,
un point Mathématique conçû en l'air,et qui n'est
qu'une abstraction de l'entendement ; mais si
c'est telle portion qu'on voudra de matiere , elle
aura toujours differents aspects relatifs à tout ce
qui l'environne. Je puis considerer l'angle d'une
fortification , en tant qu'il est saillant ; mais la
matiere qui compose cet angle , a nécessairement
an côté opposé et qui regarde la Place,
Le
876 MERCURE DE FRANCE
Le P. Castel m'impute une contre supposition
secrette , parce que j'ai dit que la plus petite por
tion de matiere ne cesse point , par la division
d'être matiere elle - même ; que la portion de matiere
la plus divisée qu'on puisse imaginer , étant
mise sur un plan , le touchera toujours par une de
ses parties , et ne le touchera pas par celle qui est
au-dessus, Il n'y a aucune contre- supposition ni expresse
ni secrette dans cette hypotèse . La portion
de matiere , la plus petite et la plus divisée qu'on
puisse imaginer, est encore divisible, parce que l'imagination
est finie, et que la divisibilité est infinie.
Ou si ces expressions de la portion de la
Matiere la plus petite et la plus divisée qu'on
puisse imaginer, déplaisent au P. Castel , il n'y
a qu'à dire qu'une portion de matiere , quelque
petite et quelque divisée qu'on la suppose , étant
mise sur un plan, le touchera toujours par une de
ses parties , et ne le touchera pas par celle qui est
au-dessus.
Le P. Castel continuë ainsi : Le point, la ligne,
la surface , appartiennent à l'étendue , sont dans
P'étendue indépendamment de notre entendement.
Je répons qu'au contraire le point , la ligne , la
surface , n'appartiennent en aucune maniere à
l'étendue et n'y sont point ni dépendamment ni
indépendamment de notre entendement. L'esprit
les considere abstractivement, mais ils ne peuvent
être réellement dans l'étendue . Tout ce qui est.
étendu et matériel , a nécessairement longueur ,
largeur et profondeur .
Ya-t'il rien de plus réel , dh le P. Castel , que
les bornes qui terminent quelque chose ? Non, sans
doute , mais si je ne fais attention en elles qu'à
cette qualité terminative , pour ainsi - dire , c'est
ane abstraction de l'entendement , Si je considere
MAY . 1734. 877
les bornes telles que réellement elles existent , si
je les considere comme des corps ou des portions
de corps , elles ne peuvent cesser d'avoir un côté
interieur joint à un exterieur , et d'être composées
de parties. Car toute portion d'un corps est
matér! elle , et elle - même est un corps.
Quoi ! je puis , dit le P. Castel , par une operation
aussi grassiere que l'est le toucher , faire le discernement
de la surface et du corps , toucher la surface,
longueur et largeur , sans toucher la profondeur , et
vous me direz que ces choses -là ne sont pas réellement
distinctes , et qu'elles ne le sont que par une
operation de l'esprit , tandis qu'elles le sont par
une operation de l'oeil et même de la main? Car
absolument ce que je vois et ce que je touche , n'a
point de profondeur. Au - dessous je sçais bien qu'il
ya une profondeur , mais elle appartient au corps
e non à la surface.
être
Ces paroles renferment la démonstration la
plus forte de la divisibilité à l'infini et l'exclusion
la plus formelle des atomes , puisque , de l'aveu
du P. Castel , la profondeur est réellement distincte
de la longueur , et que l'une ne peut
sans l'autre, Donc tout ce qui est Physique est
composé de parties réellement distinctes ; donc
il ne peut y avoir de point physique , le point
étant un, simple et sans parties ; donc la plus petite
portion de matiere qu'on puisse imaginer ,
peut encore devenir plus petite et ne peut cesser
d'être divisible ; C. Q. F. D.
Je puis me promener sur une Montagne sans
descendre dans une Vallée. Le P. Castel voudroit-
il en conclure qu'une Montagne peut être
sans vallée Une portion de matiere ne peut pas
être davantage sans longueur , largeur et profon
deur , disons plus, sans une multiplicité de partiog
878 MERCURE DE FRANCE
ties et d'aspects qui répondent à tous les corps
qui l'environnent , qu'une montagne peut être
sans vallée .
Mais je suppose que le Systême des atomes
soit soutenable : ces atomes , au moins , ne peuvent
être inégaux. Car leur difference seroit une
multiplicité de parties , et le plus gros pourroit
par un retranchement être rendu égal au plus
petit. Les atomes inégaux du P. Castel reviennent
au même que les points naissants et évanouissants
, auxquels Newton attribue differens
rapports entr'eux . L'inégalité des points Mathématiques
, quoique soutenue par ces deux Auteurs
celebres , n'en est pas moins contradictoire,
Après avoir rapporté la démonstration suivante
du P. Castel ; Dans un quarré qui à sa
diagonale , les lignes qui coupent ce quarré
parallelement à l'autre côté , coupent la diagonale
en autant de points , ni plus ni moins ; or la diagonale
est plus grande que le côté; donc les points d'in
tersection sont plus grands , ce qu'il falloit démontrer.
J'ai pleinement réfuté ce raisonnement
que le P. Castel dit que je n'ai pas jugé à propos
d'entamer , et je l'ai réfuté de la maniere la
plus directe , en faisant voir qu'il ne résulte autre
chose de l'hypothèse , sinon que les intervalles
d'intersection sont plus grands dans la dia
gonale que dans le côté du quarré.
C'est une pétition de principe, de prétendre que
le point est plus grand dans un plus grand cercle
: Euclide a bien sûrement pensé le contraire ,
lorsqu'il a démontré que dans tout cercle on ne
peut tirer qu'une tangente au même point. Les
objections qu'on peut faire sur le point de contact
d'un plus grand cercle , se rapportent au
cercle matériel , où il ne peut y avoir de point
MaMAY.
1734. 879
Mathématique et dans lequel la précision géométrique
ne peut se rencontrer,
pour
Quant à ce que le P. Castel donne l'expression
simple d'une chose bien sublime ,
xo1 ; il me permettra de dire que je n'y
trouve aucune sublimité ; et les principes que j'ai
expliquez , ne m'y laissent appercevoir qu'une
double impossibilité , dont les deux parties se
detruisent par la division et la multiplication.
Il est temps de finir une Dissertation aussi
abstraite. La Géométrie qui va rigoureusement
à la précision du vrai , est fort éloignée de l'esprit
de dispute. Ne donnons pas lieu aux Dialec
ticiens et aux Physiciens de prétendre que cett
science soit , comme les leurs , sujette aux contrarietez
d'opinions.
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Résumé : SUITE de la Réponse de M. de Saint-Aubin, au Problême sur l'Essence de la Matiere.
Le texte présente une réponse à des critiques concernant l'essence de la matière et la géométrie, impliquant trois géomètres : deux anonymes et le Père Castel. Le premier anonyme soutient que la solidité de la géométrie repose sur le problème de l'essence de la matière et accuse l'auteur de la réponse de considérer la géométrie comme fragile. L'auteur de la réponse explique que l'analyse de l'infini utilise diverses quantités pour obtenir des solutions plus courtes et des vues plus étendues, mais critique l'utilisation incorrecte du calcul qui mène à des conclusions absurdes, comme l'égalité du mouvement infini et du repos. Il défend la géométrie de l'infini en distinguant les rôles du calcul et du raisonnement. Un autre géomètre anonyme accuse l'auteur de la réponse d'attaquer la géométrie en considérant ses éléments comme des abstractions sans réalité. L'auteur réplique que, bien que les éléments géométriques soient abstraits, ils sont dignes de l'entendement et conduisent à une grande exactitude. Le Père Castel aborde la question de la divisibilité à l'infini, admettant des points physiques tout en soutenant l'infini géométrique. Il donne des exemples pour illustrer ses arguments, mais l'auteur de la réponse conteste ses suppositions et démontre la divisibilité infinie de la matière. L'auteur conclut en affirmant que la géométrie vise la précision du vrai et doit éviter les disputes. Il réfute les objections du Père Castel sur les points mathématiques et leur taille dans les cercles.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
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