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LETTRE du P. Castel , en Réponse
à M. le Gendre de S. Aubin , sur l'Existence
des Points inégaux .
J'Ay lit ,M. ce que vous m'avez faitl'honneur d'écrire pour et contre quelques- unes de mes
Pensées. Là - dessus et sur vos autres Ouvrages
j'ai conçu une grande idée de votre Erudition
philosophique et de la maniere nette et débarassée
dont vous maniez la plupart des questions
que votre sujet vous présente. Mais , avec la même
candeur , je vous avoue que je voudrois que
yous n'eussiez point touché , au moins si fortement
, à la Géométrie moderne , qui est tout aussi
certaine que la Géométrie ancienne , lorsqu'elle
est en bonne main .
Pour ce qui me regarde , je ne me formalise
point que vous soyez un peu révolté contre mes
Points inégaux, et même, si vous voulez . incommensurables
. Il est bon d'éclaircir les nouveautéz.
Et croyez vous que la premiere fois que ces
Points se présenterent à moi , je fus fort docile
à m'y ren ire , et que je m'y fusse jamais rendu,
si la suite invariable des conclusions géométriques
qui m'y avoient conduit , ne m'avoient
enfin entraîné malgré moi ?
Car vous insinuez dans votre Réponse qu'on
aime la nouveauté et qu'on court après , comme
s'il n'y avoit qu'à courir . Croyez - moy , M. ceux
qui y donnent , le font tout bonnement sans y
penser , sans le sçavoir , et parce qu'apparamment
ils sont faits pour y donner ; au lieu que
je.
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je meferois bien fort de montrer que ce sont ceux
qui n'y donnent pas , qui souvent y courent le
plus . Peu importe , chacun fait comme il veut,
Comme il sçait et comme il peut.
Pour mes Points ils sont démontrez , puisqu'ils
le sont géométriquement et par la Géometrie
même d'Euclide, sans aucun excès de raisonnement
ou de discours , dont on puisse se défier.
Car c'est Euclide même qui dit qu'un cercle ne
touche une ligne qu'en un point , et que l'intersection
de deux lignes droites n'est jamais qu'un
point. Or le contact d'un plus grand cercle est
un plus grand point , aussi bien que l'intersection
plus oblique de deux lignes ; cela se voit
dans le Physique, et se conçoit très-bien dans le
Géometrique ; et voilà tout.
La chose est si vraye au reste , qu'après avoir
rapporté une de mes Démonstrations , vous n'avez
pas jugé à propos de l'entamer . Vous avez
pris un autre tour , selon l'ancienne maniere philosophique
, dont vous deviez pourtant vous défier
, après avoir si bien montré dans votre Traité
qu'elle n'est bonne qu'à former des opinions
frivoles.
Vous concevez une partie de matiere et vous
la concevez , dites - vous , aussi petite qu'elle peut
être. C'est beaucoup ,je n'en veux pas davantage.
Mais c'est en Géométre qu'il faut prendre desormais
cette supposition avec précision , avec
force , sans la rétracter par aucune contre supposition
secrette.
Une partie de matiere aussi petite qu'elle peut
être , n'est ni d'un pied de diametre , ni d'un demi
pied , ni d'un pouce , ni d'une ligne , ni a'une
demi ligne , ni d'un centiéme , ni d'un miliémo ,
&c. de ligne , ni d'une mesure, en un mot, qu'on
puisse
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puisse partager ni en deux , ni en trois , ni en
aucun nombre imaginable. Cette partie ainsi di
minuée est une partie en effet et non un tout.
Elle est une , elle est indivisible c . q. f. d. même
par votre supposition.
Comment donc, M. y distinguez - vous tout de
suite deux parties , dont l'une touche à un plan ,
l'autre ne le touche pas , l'une étant en dessus et
l'autre en dessous ? C'est que vous n'avez pas
suivi le fil géometrique de votre propre hypothese.
Mais ce que vous n'avez pas fait , c'est
à moi de le faire pour éluder votre objection . Je
le ferai donc , ma coûtume , lorque j'ai un principe
, étant de le laisser aller tout droit , me réservant
à juger de sa valeur par le but où il va
aboutir.
Comme celui- cy n'aboutit qu'à dire avec Euclide
, que le Point est ce qui n'a point de parties
, punctum est cujus pars nulla mais je ne
sçaurois m'en défier.
›
Les Points que j'admets sont de vrais Points
physiques autant que géométriques . Leur donnez-
vous un dessous ? Je leur ôte donc le dessus.
J'étois jeune lorsqu'un Maître m'amusoit de ce
raisonnement. S'il y avoit un Point quelque part
au milieu de l'air , il regarderoit l'Orient et l'Occident
, le Septentrion et le Midi , le Zénith et le
Nadir. Je trouvois cela évident ; je ne connoissois
encore que des corps , et le Point que je concevois
étoit un corps.
Mais un Point , ai - je dit enfin , est un Point
et n'a par conséquent qu'un aspect. Six Points
cardinaux qui ont six aspects , sont six points.
Celui de l'Orient n'est pas celui de l'Occident.
Est -ce qu'un angle qui tourne la pointe au Midy,
la tourne aussi au Nord Est-ce que dans une
Place
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Place de guerre , le même angle est saillant et
rentrant Est- ce qu'une pointe pique en dedans
comme en dehors.
Le Point , dites- vous , est une abstraction de
l'entendement. J'avois prévenu cette objection
dans l'endroit de ma Mathématique que vous at
taquez . Le Point , la ligne , la surface . appartiennent
à l'étendue , sont dans l'étenduë , indépendamment
de notre entendement ; et s'ils sont
dans notre entendement , ils sont donc aussi dans
l'étenduë qui en est l'objet . Il seroit ridicule que
la Géomerie , tant pratique que speculative , ne
fut fondée que sur une abstraction de l'entendement.
Ce seroit une Géometrie toute fantastique
à laquelle il n'y a nul doute que l'etenduë ne se
refusât ; au lieu que dans la pratique , l'étenduë
se prête à la Géométrie avec un concert qu'on
ne peut trop admirer .
Il est réel et très- réel que les corps sont terminez
par des surfaces , par des lignes , par des
points. Y a- t'il rien de plus réel que les bornes
qui terminent toutes choses ? Or ces bornes sont
indivisibles et n'ont chacune qu'un côté . La surface
n'est surface que du côté qu'elle présente ,
en dehors et non en dedans . On voit ce côté ,
mais on ne voit que ce côté ; on fait plus , on le
touche et on ne touche que lui . Bien surement
ce qu'on voit et ce qu'on touche est réel hors
de notre entendement.
Quoi ! je puis par une operation aussi grossiere
que l'est le toucher , faire le discernement
de la surface et du corps ; toucher la surface ,
longueur et largeur , sans toucher la profondeur?
Et vous me direz que ces choses là ne sont pas
réellement distinctes , et qu'elles ne le sont que
par une operation de l'esprit , tandis qu'elles le
sont
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sont par une operation de l'oeil , et même de la
main.
Car absolument ce que je vois , ce que je tou
che, n'a point de profondeur. Au - dessous , je sçai
bien qu'il y a une profondeur ; mais elle appartient
au corps et non à la surface.
Je vois ce qui vous embarasse et ce qui a de
tout temps embarassé ceux qui ont agité cette
question pour et contre. Si le Point n'est pas la
ligne , si la longueur n'est pas la largeur ou la
profondeur , vous voudriez qu'on séparât tout
cela et qu'on laissât - là la matiere sans largeur ,
sans longueur , &c .
Quand je dirois que cela est impossible , je ne
dirois autre chose , si ce n'est que les modification
ne se séparent pas des choses modifiées , ni
les accidens des substances . Mais qui suis - je pour
dire que cela est impossible ? Il est impossible
aux hommes de faire des Points indivisibles.
Mais je n'oserois dire que cela fût impossible à
Dieu , et c'est , j'ose le dire , la Géometrie même
qui de concert avec la Religion , m'inspire ce respect
, depuis sur tout qu'elle m'a fourni cette expression
simple d'une chose bien sublime 1 :
I dont j'ai donné ailleurs l'explication.

Le Père Castel répond à M. le Gendre de Saint-Aubin au sujet de l'existence des points inégaux. Castel commence par louer l'érudition et la clarté de Saint-Aubin, tout en regrettant que ce dernier ait critiqué la géométrie moderne, qu'il considère aussi certaine que la géométrie ancienne. Castel défend ses points inégaux en affirmant qu'ils sont démontrés géométriquement et conformément aux principes d'Euclide. Il explique que les points inégaux sont des points physiques et géométriques réels, et non des abstractions de l'entendement. Selon Castel, les surfaces, lignes et points sont des bornes réelles et indivisibles, terminant les corps. Il soutient que, bien que les hommes ne puissent créer des points indivisibles, cela n'est pas impossible pour Dieu. Castel conclut en affirmant que la géométrie et la religion confirment cette idée.

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