Titre
SOLUTION DU SYSTEME PROPOSÉ Par un Anonyme dans le second volume du Mercure de Juin dernier ; par M. Bezout, Maître de Mathématiques.
Titre d'après la table
Solution du problême proposé dans le second volume du Mercure de Juin dernier ; par M. Bezout, Maître de Mathématique,
Fait partie d'une livraison
Fait partie d'une section
Page de début
131
Page de début dans la numérisation
652
Page de fin
135
Page de fin dans la numérisation
656
Incipit
M. G... ayant proposé dans le Mercure de Mai un problême d'Algebre,
Texte
SOLUTION DU SYSTEME PROPOSÉ
Par un Anonyme dans le fecond volume du
Mercure de Juin dernier ; Par M. Bezout
, Maître de Mathématiques,
M
.G... ayant propofé dans le Marcure
de Mai un problême d'Algebre,
j'ai effayé d'en donner la folution dans le
Mercure de Juin. Dans le 2d volume de ce
même mois'a paru une autre folution par
un Anonyme. Comme elle eft femblable
à celle de M. G ... je ne ferai aucune remarque
fur cette folution ; ce que j'en dirois
, ne feroit qu'une répétition de ce que
j'ai dit dans le premier Mercure de Juin
& dans celui de Juillet . Cette même folution
eft fuivie d'une invitation faite à M.
G... par l'Anonyme , pour la réfolution
du problême fuivant , fur lequel j'efpere
qu'il voudra bien me permettre de m'eſ-
Layer auffi .
Le problème propofé eft celui- ci : Une
F vj
732 MERCURE DE FRANCE.
perfonne rencontre trois pauvres , & les fai-
Sant ranger en cercle , donne à chacun des
pieces de douze fols , & des pieces de vingtquatre
fols.
Après la diftribution qui eft inégale , il fe
trouve que chaque pauvre a autant de pieces
que l'un de fes voifins a de livres , & autani
de livres que fon autre voifin a de pieces .
On demande combien chaque pauvre reçoit
de pieces de douze fols , & combien de
pieces de vingt-quatre fols.
SOLUTION.
Soient x ,y , z les nombres
de pieces
de douze
fols , x , y , z les nombres
de
pieces
de vingt- quatre
, demandez
. Il eſt
clair
la nature de la question
que x ,
par
1,2 , * , &c . doivent
être des nombres
entiers
pofitifs.
Les conditions du problême fourniſſent
fix équations ; mais de ces fix trois font les
mêmes que les trois autres , ainfi il reſte
pour la folution de la queftion les trois
equations fuivantes ....
x + 1 =
12y +247
20
C
-
12 2 + 242"
2 + 27
20
12 x 24 x*
20
De ces équations on tire , fuivant les
régles de l'Algebre , ces autres- ci .....
SEPTEMBRE. 1755. 133
-
(A ) .... 91x = 902 + 75717x
( B ) ... 917 = 90x + 752 + 17 J
( C ) ... 912' = 90 y +75 x + 17 %
Je fais maintenant dans l'équation ( C )
75x + 172 = p , & je la change en 91 z'
— 90y = p ... ( R ) dans laquelle je remarque
que p étant fuppofé un nombre
entier pofitif , quelconque , puifque les
nombres 91 & 90 coëfficiens de z' & dex
font premiers entr'eux , on pourra toujours
trouver une infinité de nombres entiers &
pofitifs pour & pour y capables de fatisfaire
à cette équation .
z'
Il ne s'agit donc plus , ayant trouvé l'expreffion
générale de toutes les valeurs de y
dans cette équation , que de déterminer
parmi ces valeurs celles qui peuvent fatisfaire
en même tems aux deux autres équations.
Or l'expreffion générale de toutes les
valeurs de y dans l'équation R , eft y = p
+91 u * ( u étant un nombre entier po-
*Cette expreffion eft facile à trouver : L'équation
91 2 ′- 90jp donne y =
+
*'- ; faifant
90 90
90 up , d'où y = p
912 -p
90
น ,
on trouve 2 =
91 ; mais lors mêpas
me que uo , ) , qui pour fors vaut p n'a >
toujours la valeur la plus fimple qu'il puiffe avoir
134 MERCURE DE FRANCE.
fitif, mais moindre que p lorfqu'il eft pris
en ) ; il faut donc fi le problême a quelque
folution, que parmi toutes les valeurs
que peut avoir p + 91 , il y en ait quel
qu'une qui fubftituée à y dans les équations
A & B , rende le fecond membre multiple
de 91 , ou puifque 91 # eft lui - même un
multiple de 91 , il faut que p fubftitué à 7
dans ces mêmes équations rende leur fecond
membre multiple de 91 ; or fi on fair
cette fubftitution en rendant à p fa valeur
75x + 172, on verra facilement que
la chofe a lieu : donc , puifque dans p nous
n'avons affigné aucune valeur particulieàx
& à z , il s'enfuit que quelques valeurs
entieres & pofitives qu'on donne à
& à z , il en résultera toujours des nombres
entiers & pofitifs pour x , y , z J.
Enfin la fubftitution dont nous venons
de parler étant faite , on trouvera ( x &
étant prifes à volonté , ainfi que , pourvû
que x & z foient entiers & pofitifs , & que
и auffi , nombre entier , lorfqu'on le prendra
en
dis-je ,
n'excéde pas 1) on trouvera ,
9.1
c'est pourquoi on peut même prendre négati
vement : or dans ce cas , pour que y foit politif,
il eft facile de voir que p doit être > 91 ½ , où a
SEPTEMBRE. 1755. 239
x = 154 + 62x ± 754
y = 15x + 42 ± 174
2' = 75x + 172 ± 90 n
J = 75x + 172 + 91μ
Par un Anonyme dans le fecond volume du
Mercure de Juin dernier ; Par M. Bezout
, Maître de Mathématiques,
M
.G... ayant propofé dans le Marcure
de Mai un problême d'Algebre,
j'ai effayé d'en donner la folution dans le
Mercure de Juin. Dans le 2d volume de ce
même mois'a paru une autre folution par
un Anonyme. Comme elle eft femblable
à celle de M. G ... je ne ferai aucune remarque
fur cette folution ; ce que j'en dirois
, ne feroit qu'une répétition de ce que
j'ai dit dans le premier Mercure de Juin
& dans celui de Juillet . Cette même folution
eft fuivie d'une invitation faite à M.
G... par l'Anonyme , pour la réfolution
du problême fuivant , fur lequel j'efpere
qu'il voudra bien me permettre de m'eſ-
Layer auffi .
Le problème propofé eft celui- ci : Une
F vj
732 MERCURE DE FRANCE.
perfonne rencontre trois pauvres , & les fai-
Sant ranger en cercle , donne à chacun des
pieces de douze fols , & des pieces de vingtquatre
fols.
Après la diftribution qui eft inégale , il fe
trouve que chaque pauvre a autant de pieces
que l'un de fes voifins a de livres , & autani
de livres que fon autre voifin a de pieces .
On demande combien chaque pauvre reçoit
de pieces de douze fols , & combien de
pieces de vingt-quatre fols.
SOLUTION.
Soient x ,y , z les nombres
de pieces
de douze
fols , x , y , z les nombres
de
pieces
de vingt- quatre
, demandez
. Il eſt
clair
la nature de la question
que x ,
par
1,2 , * , &c . doivent
être des nombres
entiers
pofitifs.
Les conditions du problême fourniſſent
fix équations ; mais de ces fix trois font les
mêmes que les trois autres , ainfi il reſte
pour la folution de la queftion les trois
equations fuivantes ....
x + 1 =
12y +247
20
C
-
12 2 + 242"
2 + 27
20
12 x 24 x*
20
De ces équations on tire , fuivant les
régles de l'Algebre , ces autres- ci .....
SEPTEMBRE. 1755. 133
-
(A ) .... 91x = 902 + 75717x
( B ) ... 917 = 90x + 752 + 17 J
( C ) ... 912' = 90 y +75 x + 17 %
Je fais maintenant dans l'équation ( C )
75x + 172 = p , & je la change en 91 z'
— 90y = p ... ( R ) dans laquelle je remarque
que p étant fuppofé un nombre
entier pofitif , quelconque , puifque les
nombres 91 & 90 coëfficiens de z' & dex
font premiers entr'eux , on pourra toujours
trouver une infinité de nombres entiers &
pofitifs pour & pour y capables de fatisfaire
à cette équation .
z'
Il ne s'agit donc plus , ayant trouvé l'expreffion
générale de toutes les valeurs de y
dans cette équation , que de déterminer
parmi ces valeurs celles qui peuvent fatisfaire
en même tems aux deux autres équations.
Or l'expreffion générale de toutes les
valeurs de y dans l'équation R , eft y = p
+91 u * ( u étant un nombre entier po-
*Cette expreffion eft facile à trouver : L'équation
91 2 ′- 90jp donne y =
+
*'- ; faifant
90 90
90 up , d'où y = p
912 -p
90
น ,
on trouve 2 =
91 ; mais lors mêpas
me que uo , ) , qui pour fors vaut p n'a >
toujours la valeur la plus fimple qu'il puiffe avoir
134 MERCURE DE FRANCE.
fitif, mais moindre que p lorfqu'il eft pris
en ) ; il faut donc fi le problême a quelque
folution, que parmi toutes les valeurs
que peut avoir p + 91 , il y en ait quel
qu'une qui fubftituée à y dans les équations
A & B , rende le fecond membre multiple
de 91 , ou puifque 91 # eft lui - même un
multiple de 91 , il faut que p fubftitué à 7
dans ces mêmes équations rende leur fecond
membre multiple de 91 ; or fi on fair
cette fubftitution en rendant à p fa valeur
75x + 172, on verra facilement que
la chofe a lieu : donc , puifque dans p nous
n'avons affigné aucune valeur particulieàx
& à z , il s'enfuit que quelques valeurs
entieres & pofitives qu'on donne à
& à z , il en résultera toujours des nombres
entiers & pofitifs pour x , y , z J.
Enfin la fubftitution dont nous venons
de parler étant faite , on trouvera ( x &
étant prifes à volonté , ainfi que , pourvû
que x & z foient entiers & pofitifs , & que
и auffi , nombre entier , lorfqu'on le prendra
en
dis-je ,
n'excéde pas 1) on trouvera ,
9.1
c'est pourquoi on peut même prendre négati
vement : or dans ce cas , pour que y foit politif,
il eft facile de voir que p doit être > 91 ½ , où a
SEPTEMBRE. 1755. 239
x = 154 + 62x ± 754
y = 15x + 42 ± 174
2' = 75x + 172 ± 90 n
J = 75x + 172 + 91μ
Langue
Vers et prose
Type d'écrit journalistique
Courrier des lecteurs
Faux
Mots clefs
Domaine
Résumé
Le texte traite d'une discussion mathématique autour d'un problème d'algèbre proposé par M. G... dans le Mercure de Mai. Une première solution a été publiée par M. Bezout dans le Mercure de Juin, suivie d'une solution anonyme similaire. L'auteur du texte ne commente pas ces solutions pour éviter de répéter ses précédentes remarques. L'anonyme invite ensuite M. G... à résoudre un nouveau problème. Ce nouveau problème concerne la distribution inégale de pièces de monnaie (de douze sols et de vingt-quatre sols) à trois pauvres disposés en cercle. Chaque pauvre reçoit un nombre de pièces égal au nombre de livres d'un voisin et un nombre de livres égal au nombre de pièces de l'autre voisin. Le texte demande combien chaque pauvre reçoit de pièces de douze sols et de pièces de vingt-quatre sols. La solution mathématique propose d'utiliser des équations algébriques pour déterminer les nombres de pièces. Les variables x, y et z représentent les nombres de pièces de douze sols et de vingt-quatre sols reçus par chaque pauvre. Les conditions du problème fournissent six équations, mais seulement trois sont indépendantes. L'auteur déduit des équations générales pour x, y et z, et montre que pour toute valeur entière positive de x et z, il existe une solution entière positive pour y. Les solutions générales pour x, y et z sont données par des formules paramétrées par des entiers positifs ou négatifs.
Est rédigé par une personne