ECLAIRCISSEMENT sur le nouveau Paradoxe proposé aux Géometres Infinitaires, par le P. C. J. dans le Mercure de Juin 1731. page 1280.

ECLAIRCISSEMENT sur le nouveau
Paradoxe proposé aux Géometres Infinitaires
, par le P. C. J. dans le Mercure
de Juin 1731. page 1280.
L est vrai, que comme le dit le P. C. le
quarré des unitez 1. 1. 1. &c. en nombre
infini , est 1. 3. 5. &c. en nombre
infini , c'est- à - dire, tous les nombres impairs.
Il est vrai aussi , ce que dit M. Cheyne,
que les mêmes nombres impairs , 1. 3. 5 .
&c. sont les quarrez , non des unitez
mais des demi unitez ,,,, &c. en
nombre infini .
D'où il suit que le quarré des unitez
qui selon le P. C. et M. Cheyne , est la
même suite des impairs , est égal en mê~
me temps au quarré des démi unitez,
Et je puis encore augmenter la merveille,
çar la suite infinie des impairs , 1. 3. S .,.
A OU S T. 1731. 1865
étant très - certainement , et par
consequent égale au quarré des unitez ,
ce quarré ne laisse pas d'être aussi co .
Le P. C. dit qu'il differe en un point
d'avec M. Cheyne , et que sur ce point
il faut que l'un des deux ait tort. C'est
que selon le P. C. le quarré des unitez
est toûjours 1. 3. 5. &c . et qu'il est , selon
M. Cheyne , égal à la somme des nombres
naturels , 1. 2. 3. 4. & c . ce qui est
effectivement très- different , puisque la
somme des impairs 1. 3. 5. &c . n'est que
la moitié de celle des nombres naturels.
Pour moi je trouve qu'ils n'auront tort
ni l'un ni l'autre , mais à une étrange condition
, c'est qu'ils differeront encore davantage,
et qu'on supposera que M.Cheyne
, au lieu de dire que le quarré des unitez
est égal à la somme des nombres naturels
, aura dit ou oublié de dire qu'il est
égal au double de cette somme. Comme
je n'ai point lû , et queje ne puis lire le
Livre de M. Cheyne , qui est en Anglois,
je ne puis sçavoir ce que porte son Texte,
ou s'il ne manque point un mot dans la
Traduction.
Voici le dénouement de toutes ces contradictions
apparentes , et il est presque
honteux qu'il ne consiste qu'à démêler
des équivoques de mots.
Bij Une
1866 MERCURE DE FRANCE
Une suite quelconque , finie ou infinic,
a , b , c , d , &c. étant proposée , prendre
le quarré de ces termes , c'est dans le sens
naturel et ordinaire , poser a², b², c², &c.
si cette suite est la suite des unitez , 1 .
I. 1. &c. en nombre , auquel cas
a=1 , b1 , &c. les quarrez sont 12
= 1 , 1²=1 , &c. d'où il suit que
leur somme est co la même pour les
,
quarrez
quarrez que pour les racines.
On peut dire que prendre les
de a et de b , ce n'est pas seulement poser
a² et b² , mais poser aba²+ 2 a b
➜b² , ce qui outre a² et b² pose 2 a b . il
est visible qu'en ce sens- là ce n'est pas
quarrer a et b comme détachez l'un de
l'autre , mais comme liez , et faisant une
somme , et c'est proprement quarrer leur
somme. J'appelle incomplexes la premiere
maniere de quarrer a et b , et complexes
la seconde. Ši a et b étant 1 , je les.
quarre de la maniere incomplexe
, j'aurai
I et I ou 1 + 12 , Mais si je les quarre
de la maniere complexe , j'aurai 1+1
1 +2 +14. Si je quarre de la premiere
maniere 1. 1. et 1. leur somme sera 3 .
mais de la seconde maniere 14+1+ 1² , on
aura une somme 9 , et comme cela se
soûtiendra toûjours , si l'on compare I. I.
>
2
A O UST. 1731. * 1867
2
I. et 1. quarrez de la premiere maniere
a I +I+ I+ I , &c. c'est- à- dire que l'on
trouvera toûjours d'un côté une somme
égale au nombre des unitez, et de l'autre
une somme égale au quarré de ce même
nombre , il s'ensuit que la proposition
est generale , et que la somme des quarrez
des unitez prises en nombre 6
est de la premiere maniere ∞ et de
la seconde . Puisque dans l'infini
la somme des quarrez faits de la maniere
complexe , est infiniment plus grande que
la somme des quarrez faits de la maniere
incomplexe , ce rapport des deux sommes
dans le fini a toûjours dû être croissant à
mesure qu'on a pris un plus grand nom
bre d'unitez.
&
c.∞o s
La somme des nombres naturels 1. 2. 3 .
étant , celle de la somme
des quarrez complexes des unitez en est
double , puisqu'elle est∞ , c'est
ce que je croi que M. Cheyne a dit , ou
Yvoouulu dire.
Si l'on quarre de la maniere incomplexe
la suite infinie ,
le nombre des termes est
la que somme sera
00
1
,
&c . dont
00 il est
›
Mais si on la quarre de la maniere complexe
, il faut observer que
B. iiij
2
➤
est
868 MERCURE DE FRANCE
4 4
2
c'est
anb #—1 + 1 + 1 +
, c'est-à- dire que si l'on quarre
de la maniere complexe deux de ces
on aura un nombre de qui sera 4 .
quarré du nombre des , que si on quarre
trois , on aura neuf , et toujours
ainsi de suite d'où il suit que si on
quarre des en nombre
4
,
7
on aura
un nombre de , qui sera² , ou une
somme de , qui sera 2,ce qui est
parfaitement analogue , comme il doit
l'être , à ce qu'on vient de trouver pour
les unitcz . Or on sçait que la somme des
pairs ou des impairs , pris jusqu'au dernier
terme de la suite naturelle , qui est
donc , & c .
∞
4
2
C 2
CO 2
Delà il suit que si l'on quarre de la
maniere incomplexe des , pris en nombre
, leur somme est . et
que si on les quarre de la maniere complexe
, leur somme est 1. L'analogie
se soutient toûjours , et ce seroit encore
un Paradoxe , si l'explication n'avoit
précedé que des quarrez , quoiqu'en
nombre infini , pussent faire une
somme finie , et — I.
On peut encore quarrer une suite d'une
A OUS T. 1731. 1869
prene
maniere qui ne sera ni absolument incomplexe
, ni absolument complexe ; mais
mixte. On prendra , 1 ° . le quarré du
mier terme , 2. le quarré des deux premiers
, et on en retranchera le quarré du
premier, 30. le quarré des trois premiers et
on en retranchera le quarré des deux premiers
, et toûjours ainsi de suite. Ce seront
des quarrez complexes , mais mis en
une somme d'une maniere incomplexe ,
puisqu'on les sépare les uns des autres à
mesure qu'on les forme.
1.
Si l'on quarre de cette maniere mixte
la suite infinie , F. 1. 1. &c . on aura pour
premier quarré 1. pour second 4-1
3 , pour troisiéme 9
,
5 , pour
quatrième , 16- I 3 S=7 , &c.
c'est-à -dire , la suite des impairs , dont la
somme est , et c'est ce que le P. C. a dit.
Si l'on quarre de la maniere complexe
la moitié de ia suite infinie des unitcz ,
dont le nombre sera par consequent
2 9 on trouvera , selon ce qui a été dit ,
la somme , la même que celle des
unitez en nombre quarrez de la
maniere mixte , d'où il suit que par
rapport à la grandeur de la somme ,
maniere, complexe a un grand avantage
sur la mixte , puisque la moitié de la suite
B v infinie
la
1870 MERCURE DE FRANCE
infinie des unitez quarrées par la maniere
complexe a la même somme que la suite:
entiere quarrée par la maniere mixte.
On pourra comparer les trois manietes
ensemble , en considerant que les som→
mes de la suite infinie des unitez quar
rées sont par la maniere incomplexe ∞ ,
la mixte , par la complexe∞ 2.