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1
p. 145-161
DEMONSTRATION de l'Impossibilité de la quadrature du Cercle en nombres exacts.
Début :
JE donnay au Public en 1700. dans le Journal des Sçavans, [...]
Mots clefs :
Quadrature du cercle, Démonstration, Impossibilité, Progression, Rapport, Nombre, Fraction, Irréductible, Mathématiques, Chimère
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texteReconnaissance textuelle : DEMONSTRATION de l'Impossibilité de la quadrature du Cercle en nombres exacts.
DEMONSTRATION
de ïImpossibilité de la
1 quadraturedu Cercle en
nombresexaâs.
Jî, donnay au Public en
1700. dans le Journal des
Sçavans, une démonstration
de l'impossibilité du mouvement
perpetuel avec des
coprs solides ou liquides; &
cela par leur centre de gravité
commun; après l'avoir
expliquée à l'Academie des
Sciences,&ensuitedans mes
Conferences publiques. Depuis
ce tems l'ardeur pour
cette chimere a,, paru un peu
plus ralentie, aucune tentative
n'ayant paru depuis plus
de 12. années. Mais celle que
l'on a pour la quadrature du
Cercle semble croître de
jour en jour, par les productions
qu'elle fournit au Public
aussifréquemment, que
-
la recherche du mouvement
perpetuel faisoit autrefois.
Cela m'a fait penser que je
ferois peut-être autant de
-
plaisir au Public de le délivrer
de cette feconde chimere
d'une maniere qui foit
à la portée de tout le monde
, que dela premiere. Or
on fait que le Problême de
la quadrature numérique du
Cercle consiste à trouver un
quarré ou autre produit
dont la surface soit précisément
égale à celle du cercle;
& que pour trouver cette
parfaite égalité,il suffit de
trouver en nombres le raport
exact de la circonference
d'un cercle à son diametre.
Puis qu'Arc himedesa
démontré il y a plus de ijoo
ans. que la surface d'un Cercleest
égale au rectangle
compris fous son circuit, &
fous le quart de son diametre.
De forte que si l'on avoit
en même tems la juste valeur
de l'un & de l'autre, il
ne resteroit que de multiplier
l'une par l'autre, ôc de tirer
ensuite la racine quarrée du
produit, ou par les nombres,
ou par la Geometrie
pratique; cette racine seroit
le côté du quarré, dont la
surface seroit précisément
égale à celle du Cercle, si le
produit étoit un quarré parfait
; ou du moins en approchantcette
racine de plus en
plus, on approcheroit continuellement
de cette égalité
parfaite.
Voici donc maintenant
comme on peut démontrer
l'impossibilité de trouver en
nombres le raport exact du
circuit d'un cercle à son diametre.
Il ne faut pour cet
effet que prendre la progression
(4 moins 1 plus 4/5 moins
4/7 plus4/9 moins -f-¡ &c.) de M.
Leibnitz (que l'on trouve
dans les Journaux de Leipsik
de l'année 1682. dans les 2.
tomes de l'Analysedémontrée
du P. Reinau; dans la
Geometrie pratique de
M. Ozanam, & dans la2.
Edition de mes Essais de
Mathématique & de Physique)
afin de faire differentes
sommes des termes de
cette progression pris successivement
3
à commencer
au premier, ensuite des z
premiers, puisdes3 premiers,
ensuite des 4, &c.
Alors on aura différentes
fractions dans chacune desquelles
le numerateur marquera
la valeur de la circonference
d'un cercle quelconque,
& le dénominateur son
diametre, d'autant plus exactement,
que l'on aura pris
une plus grande quantité de
termes. Ce que l'on pourra
verifier en comparant ces
sommes ou fractions avec
les raports approchez de n à
7 trouvé par Archimedes,
ou de 314 à 100, qui se tire
des Tables du cercle, ou encore
de 314159 &c. à 100000
&c. trouvé par Ludolphe de
Cologne, lesquels font connus
& reçûs de tous les Geometres.
5 Or on trouve que la fomme
des z premiers termes
de cette progression 4 moins
A-y sçavoir - est une fraction
irréductible ou primitive, ce
qu'il faut remarquer. Ajoûtant
ensuite cette fraction
avec la suivante afin d'avoir
la somme des 3 premiers
termes, on aura 2 numerateurs,
sçavoir 8 par 5, & 4
par 3, & pour le dénominateur
commun 3 par 5. Or 8
par 5, & 3 par 5 n'ont pour
mesure commune que J,
( puisque 8 & 3
font premiers
entr'eux), mais cettemesure
commune ne mesure pas
4 par 3. De même 4 par 3,
&3 par 5n'ont pour mesure
communeque 3, puisque 4
& 5 font premiers entr'eux;
mais 3 ne mesure pas 8 par
5. Donc la somme des 2, fractions
* & 4/5sçavoir : est
encore irréduttible ou premier.
Otantensuite de 52/15la
fraction suivante ) on démontrera
par un raisonnement
semblable que la fraction
restante304/105 est encore
irréductible. Et si l'on a j oute
à cette derniere la suivante
; dont le dénominateur
a3 pour commune mesure
avec le dénominateur IOJ,
on aura numerateurs 304
par3,& 4par35,& pour
dénominateur commun 3
par 105 (en divisant 105 & 9
chacun par 3. ) Or 304 & IOS
étant premiers entr'eux., 304
par 3, & 105 par3n'auront
que 3 pour mesure commune,
mais quine mesure pas
4 par 35. De même 4 par 35,
& 105 par3 n'ont que 5 pour
commune mesure
?
puisque
4 & 3
font premiers entr'-
eux, de même que 4 & 9,
mais 5 ne mesure pas 304 par
3,puisqu'il ne mesure pas
304. Donc la Comme deces
2,
fractions,sçavoir \O/Slefi
encore irréductible; & si
l'on en ôte ensuite la fraction
suivante 141' il restera
la fraction "qui est encore
primitive, ce qu'on démontrera
comme pour les
fractions Ot & IL cy-
devant,
les denominaceurs 3465 &
11 etant premiers entr'eux,
puisque Iln'est pas un des
nombres premiers qui ont
servi à former 3465. Et continuant
ainsi ces additions
& soustractions alternativement
& successivement, on
démontrera que quand les
dénominateurs des 2 fractions
ajoûtées ou retranchées
feront premiers entr'
eux, leur somme ou leur
reste fera toûjours une fraction
primitive; ou si ces2
dénominateurs ont une mesure
commune, divisant les
2. fractions ou après l'operation
ou pendant l'opération
même par cette mesure commune,
on trouvera toujours
aussi une fraction irréductible.
Voici donc maintenant
une listeoutable decessommes,
qu'on a calculées feulement
de 2 termes en 2 ter-
1
mes, a commencer par 4
moins j ;
ensuite 4 moins 7
plus moins & ainsi de
fuite jusqu'à ( moins 541. )
Or il est aise de comprendre
par la comparaison de
cette fuite de raports avec
les précedents, qu'en conti,
nuant d'ajoûter les termes
decette progression Leibnizienne,
on trouvera encore
les autres raports qui ménent
au raport exact de la
circonference au diametre,
ce que chacun peut experimenterfoy-
même. De plus
on voit que quoyque les 2
dénominateurs des z fractions
que l'on ajoûte, ou
que l'on ôte ayent quelquefois
une mesure commune,
(ce qui rabaisse alors leur
somme ou leur reste)
, ces
sommes ou restes ne laissent
pas de croître continuellement
en exposants, parcequecette
mesure commune
esttoûjours fort petite; de
sorte que dans la 9e somme
cy - dessus elle n'est que de
1155.Maisilarrive souventen
récompense, que les dénominateurs
des 2, fractions
font premiers entr'eux, sçavoir
toutes les fois que celui
de la nouvelle fraction à
ajoûter ou soustraire est premier
en lui ; ce qui se trouve
autour de tous les multiples
de 6 y compris, comme autour
de (6,11,18,;o,&c.)
excepté ceux où se trouve
un multiple de 5 ou 7 par un
des nombres premiers, comme
(24,36,48,&C. ) ce qui
ne laisse pas de produire zy
nombres premiers depuis 1
jusqu'à 100. D'où il faut conclure
que la fraction qu'exprime
le raport exact de la
circonférence d'un cercle à
son diametre, est aussi primitive
ou irréductible que
son numerateur & son dénominateur
font infinis, &
quainfi c'est courir aprés
une chimere que de chercher
à exprimer ce raport
en
en nombres exactement. Il
en est donc du cercle, comme
de toutes les racines sourdes,
que l'on exprime par de
semblables progressions indéfinies,
dont les sommes
font des fractions primitives
qui croissent en exposants
indéfiniment. Il y auroit
donc le même entêtement
de chercher le raport exact
de la circonference au diametre
en nombres, que par
exemple celui du côté d'un
quarré à sa diagonale, ce
que personnenes'avisera de
faire.
de ïImpossibilité de la
1 quadraturedu Cercle en
nombresexaâs.
Jî, donnay au Public en
1700. dans le Journal des
Sçavans, une démonstration
de l'impossibilité du mouvement
perpetuel avec des
coprs solides ou liquides; &
cela par leur centre de gravité
commun; après l'avoir
expliquée à l'Academie des
Sciences,&ensuitedans mes
Conferences publiques. Depuis
ce tems l'ardeur pour
cette chimere a,, paru un peu
plus ralentie, aucune tentative
n'ayant paru depuis plus
de 12. années. Mais celle que
l'on a pour la quadrature du
Cercle semble croître de
jour en jour, par les productions
qu'elle fournit au Public
aussifréquemment, que
-
la recherche du mouvement
perpetuel faisoit autrefois.
Cela m'a fait penser que je
ferois peut-être autant de
-
plaisir au Public de le délivrer
de cette feconde chimere
d'une maniere qui foit
à la portée de tout le monde
, que dela premiere. Or
on fait que le Problême de
la quadrature numérique du
Cercle consiste à trouver un
quarré ou autre produit
dont la surface soit précisément
égale à celle du cercle;
& que pour trouver cette
parfaite égalité,il suffit de
trouver en nombres le raport
exact de la circonference
d'un cercle à son diametre.
Puis qu'Arc himedesa
démontré il y a plus de ijoo
ans. que la surface d'un Cercleest
égale au rectangle
compris fous son circuit, &
fous le quart de son diametre.
De forte que si l'on avoit
en même tems la juste valeur
de l'un & de l'autre, il
ne resteroit que de multiplier
l'une par l'autre, ôc de tirer
ensuite la racine quarrée du
produit, ou par les nombres,
ou par la Geometrie
pratique; cette racine seroit
le côté du quarré, dont la
surface seroit précisément
égale à celle du Cercle, si le
produit étoit un quarré parfait
; ou du moins en approchantcette
racine de plus en
plus, on approcheroit continuellement
de cette égalité
parfaite.
Voici donc maintenant
comme on peut démontrer
l'impossibilité de trouver en
nombres le raport exact du
circuit d'un cercle à son diametre.
Il ne faut pour cet
effet que prendre la progression
(4 moins 1 plus 4/5 moins
4/7 plus4/9 moins -f-¡ &c.) de M.
Leibnitz (que l'on trouve
dans les Journaux de Leipsik
de l'année 1682. dans les 2.
tomes de l'Analysedémontrée
du P. Reinau; dans la
Geometrie pratique de
M. Ozanam, & dans la2.
Edition de mes Essais de
Mathématique & de Physique)
afin de faire differentes
sommes des termes de
cette progression pris successivement
3
à commencer
au premier, ensuite des z
premiers, puisdes3 premiers,
ensuite des 4, &c.
Alors on aura différentes
fractions dans chacune desquelles
le numerateur marquera
la valeur de la circonference
d'un cercle quelconque,
& le dénominateur son
diametre, d'autant plus exactement,
que l'on aura pris
une plus grande quantité de
termes. Ce que l'on pourra
verifier en comparant ces
sommes ou fractions avec
les raports approchez de n à
7 trouvé par Archimedes,
ou de 314 à 100, qui se tire
des Tables du cercle, ou encore
de 314159 &c. à 100000
&c. trouvé par Ludolphe de
Cologne, lesquels font connus
& reçûs de tous les Geometres.
5 Or on trouve que la fomme
des z premiers termes
de cette progression 4 moins
A-y sçavoir - est une fraction
irréductible ou primitive, ce
qu'il faut remarquer. Ajoûtant
ensuite cette fraction
avec la suivante afin d'avoir
la somme des 3 premiers
termes, on aura 2 numerateurs,
sçavoir 8 par 5, & 4
par 3, & pour le dénominateur
commun 3 par 5. Or 8
par 5, & 3 par 5 n'ont pour
mesure commune que J,
( puisque 8 & 3
font premiers
entr'eux), mais cettemesure
commune ne mesure pas
4 par 3. De même 4 par 3,
&3 par 5n'ont pour mesure
communeque 3, puisque 4
& 5 font premiers entr'eux;
mais 3 ne mesure pas 8 par
5. Donc la somme des 2, fractions
* & 4/5sçavoir : est
encore irréduttible ou premier.
Otantensuite de 52/15la
fraction suivante ) on démontrera
par un raisonnement
semblable que la fraction
restante304/105 est encore
irréductible. Et si l'on a j oute
à cette derniere la suivante
; dont le dénominateur
a3 pour commune mesure
avec le dénominateur IOJ,
on aura numerateurs 304
par3,& 4par35,& pour
dénominateur commun 3
par 105 (en divisant 105 & 9
chacun par 3. ) Or 304 & IOS
étant premiers entr'eux., 304
par 3, & 105 par3n'auront
que 3 pour mesure commune,
mais quine mesure pas
4 par 35. De même 4 par 35,
& 105 par3 n'ont que 5 pour
commune mesure
?
puisque
4 & 3
font premiers entr'-
eux, de même que 4 & 9,
mais 5 ne mesure pas 304 par
3,puisqu'il ne mesure pas
304. Donc la Comme deces
2,
fractions,sçavoir \O/Slefi
encore irréductible; & si
l'on en ôte ensuite la fraction
suivante 141' il restera
la fraction "qui est encore
primitive, ce qu'on démontrera
comme pour les
fractions Ot & IL cy-
devant,
les denominaceurs 3465 &
11 etant premiers entr'eux,
puisque Iln'est pas un des
nombres premiers qui ont
servi à former 3465. Et continuant
ainsi ces additions
& soustractions alternativement
& successivement, on
démontrera que quand les
dénominateurs des 2 fractions
ajoûtées ou retranchées
feront premiers entr'
eux, leur somme ou leur
reste fera toûjours une fraction
primitive; ou si ces2
dénominateurs ont une mesure
commune, divisant les
2. fractions ou après l'operation
ou pendant l'opération
même par cette mesure commune,
on trouvera toujours
aussi une fraction irréductible.
Voici donc maintenant
une listeoutable decessommes,
qu'on a calculées feulement
de 2 termes en 2 ter-
1
mes, a commencer par 4
moins j ;
ensuite 4 moins 7
plus moins & ainsi de
fuite jusqu'à ( moins 541. )
Or il est aise de comprendre
par la comparaison de
cette fuite de raports avec
les précedents, qu'en conti,
nuant d'ajoûter les termes
decette progression Leibnizienne,
on trouvera encore
les autres raports qui ménent
au raport exact de la
circonference au diametre,
ce que chacun peut experimenterfoy-
même. De plus
on voit que quoyque les 2
dénominateurs des z fractions
que l'on ajoûte, ou
que l'on ôte ayent quelquefois
une mesure commune,
(ce qui rabaisse alors leur
somme ou leur reste)
, ces
sommes ou restes ne laissent
pas de croître continuellement
en exposants, parcequecette
mesure commune
esttoûjours fort petite; de
sorte que dans la 9e somme
cy - dessus elle n'est que de
1155.Maisilarrive souventen
récompense, que les dénominateurs
des 2, fractions
font premiers entr'eux, sçavoir
toutes les fois que celui
de la nouvelle fraction à
ajoûter ou soustraire est premier
en lui ; ce qui se trouve
autour de tous les multiples
de 6 y compris, comme autour
de (6,11,18,;o,&c.)
excepté ceux où se trouve
un multiple de 5 ou 7 par un
des nombres premiers, comme
(24,36,48,&C. ) ce qui
ne laisse pas de produire zy
nombres premiers depuis 1
jusqu'à 100. D'où il faut conclure
que la fraction qu'exprime
le raport exact de la
circonférence d'un cercle à
son diametre, est aussi primitive
ou irréductible que
son numerateur & son dénominateur
font infinis, &
quainfi c'est courir aprés
une chimere que de chercher
à exprimer ce raport
en
en nombres exactement. Il
en est donc du cercle, comme
de toutes les racines sourdes,
que l'on exprime par de
semblables progressions indéfinies,
dont les sommes
font des fractions primitives
qui croissent en exposants
indéfiniment. Il y auroit
donc le même entêtement
de chercher le raport exact
de la circonference au diametre
en nombres, que par
exemple celui du côté d'un
quarré à sa diagonale, ce
que personnenes'avisera de
faire.
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Résumé : DEMONSTRATION de l'Impossibilité de la quadrature du Cercle en nombres exacts.
Le texte traite de la démonstration de l'impossibilité de la quadrature du cercle en nombres exacts. L'auteur, ayant déjà prouvé l'impossibilité du mouvement perpétuel en 1700, s'intéresse à la quadrature du cercle, qui consiste à trouver un carré dont la surface soit égale à celle d'un cercle. Pour résoudre ce problème, il est nécessaire de déterminer le rapport exact entre la circonférence et le diamètre du cercle, un problème déjà abordé par Archimède il y a plus de 2000 ans. L'auteur utilise une progression de Leibniz pour montrer que ce rapport est une fraction irréductible. En additionnant ou soustrayant les termes de cette progression, il démontre que les fractions obtenues restent toujours irréductibles. Cela signifie que le rapport exact entre la circonférence et le diamètre ne peut être exprimé par des nombres entiers ou fractionnaires. Il conclut que la recherche de ce rapport exact est une chimère, comparable à la quête de racines sourdes ou du rapport entre le côté d'un carré et sa diagonale.
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